SORU-12
Stokes Teoremi ile Eğrisel İntegral Hesaplama
$\Gamma \subset \mathbb{R}^3$ eğrisi, $\gamma:[0,2\pi]\to\mathbb{R}^3$,
$$\gamma(t) := (\cos t,\;\sin t,\;2)^T$$
parametrizasyonu ile verilmiş kapalı bir eğridir.
Aşağıdaki vektör alanı için: $$\mathbf{F}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\quad \mathbf{F}(x,y,z) := \bigl(e^{x^2}+2y,\;-2x,\;z^2x\bigr)^T$$ eğrisel integralini $$\oint_\Gamma \mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}$$
Aşağıdaki vektör alanı için: $$\mathbf{F}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\quad \mathbf{F}(x,y,z) := \bigl(e^{x^2}+2y,\;-2x,\;z^2x\bigr)^T$$ eğrisel integralini $$\oint_\Gamma \mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}$$
▸
Stokes Teoremi'ni kullanarak hesaplayınız.
📐 Bilinmesi Gereken Kural
Stokes Teoremi
$S$ yüzeyinin sınırı $\partial S = \Gamma$ kapalı eğrisi ve $\mathbf{n}$ uyumlu birim normal olmak üzere:
$$\oint_\Gamma \mathbf{F}\cdot d\mathbf{x} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\;dA$$
Burada $\nabla\times\mathbf{F}$ (rotasyon / curl) şu şekilde hesaplanır:
$$\nabla\times\mathbf{F} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\partial_x&\partial_y&\partial_z\\F_1&F_2&F_3\end{vmatrix} = \left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\;\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\;\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)$$
Yüzey seçimi serbesttir — sınırı $\Gamma$ olan herhangi bir yüzey kullanılabilir.
💡 Strateji
$\Gamma$: $z=2$ düzleminde $x^2+y^2=1$ birim çemberi. En basit yüzey seçimi: $z=2$ düzlemindeki birim disk $D$ ($x^2+y^2\leq1$, $z=2$). Bu düzlem yüzeyinde normal $\mathbf{n}=\mathbf{k}=(0,0,1)$ sabittir — rotasyonun yalnızca $z$-bileşeni katkı sağlar. Eğrisel integrali doğrudan hesaplamak $e^{x^2}$ terimi yüzünden imkânsızdır; Stokes bu zorluğu tamamen ortadan kaldırır.
⚠ Yönelim (Sağ El Kuralı)
$\gamma(t) = (\cos t, \sin t, 2)$ parametrizasyonu $t:0\to 2\pi$ yönünde ilerler. Yukarıdan ($+z$ yönünden) bakıldığında bu saat yönünün tersine (CCW) dönüştür. Sağ el kuralına göre parmaklar CCW yönünde kıvrıldığında başparmak $+z$ yönünü gösterir. Dolayısıyla uyumlu normal $\mathbf{n} = +\mathbf{k} = (0,0,1)$. ✓
$\oint_\Gamma \mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}$
Eğrisel integral
$e^{x^2}$ hesap imkânsız!
⟹
$e^{x^2}$ hesap imkânsız!
Stokes Teoremi
$= \iint_D (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\;dA$
⟹
$-4\pi$
Kolayca hesaplandı ✓
ÇÖZÜM ADIMLARI
1
ADIM 1 — Eğriyi ve Yüzeyi Tanı
$\gamma(t) = (\cos t, \sin t, 2)$ eğrisi: $x^2+y^2 = \cos^2t+\sin^2t = 1$ ve $z=2$ — yani $z=2$ düzlemindeki birim çember.
$\Gamma$: $z=2$ düzlemindeki birim çember · Disk $D$ yüzey olarak seçildi · Normal $\mathbf{n}=+\mathbf{k}$
Stokes için yüzey seçimi: $S = D$, yani $z=2$ düzlemindeki birim disk:
$$D:\; x^2+y^2 \leq 1,\quad z = 2, \quad \mathbf{n} = (0,0,1)$$
2
ADIM 2 — Rotasyonu ($\nabla\times\mathbf{F}$) Hesapla
$\mathbf{F} = (F_1, F_2, F_3) = (e^{x^2}+2y,\;-2x,\;z^2x)$
$$\nabla\times\mathbf{F} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\partial_x&\partial_y&\partial_z\\e^{x^2}+2y&-2x&z^2x\end{vmatrix}$$
| Bileşen | Formül | Hesap | Sonuç |
|---|---|---|---|
| i-bileşeni | $\dfrac{\partial(z^2x)}{\partial y} - \dfrac{\partial(-2x)}{\partial z}$ | $0 - 0$ | $0$ |
| j-bileşeni | $\dfrac{\partial(e^{x^2}+2y)}{\partial z} - \dfrac{\partial(z^2x)}{\partial x}$ | $0 - z^2$ | $-z^2$ |
| k-bileşeni | $\dfrac{\partial(-2x)}{\partial x} - \dfrac{\partial(e^{x^2}+2y)}{\partial y}$ | $-2 - 2$ | $-4$ |
$$\nabla\times\mathbf{F} = \bigl(0,\;-z^2,\;-4\bigr)$$
$e^{x^2}$ teremi rotasyon hesabında tamamen yok oldu — Stokes Teoremi'nin gücü burada!
3
ADIM 3 — $(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}$ Nokta Çarpımını Hesapla
Disk $D$'de $\mathbf{n} = (0,0,1)$ ve $z=2$ sabit:
$$(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n} = (0,\;-z^2,\;-4)\cdot(0,\;0,\;1) = -4$$
Nokta çarpım sabit $-4$ çıktı! $z$ içeren $j$-bileşeni normal vektörün $j$-bileşeni sıfır olduğundan etkisizleşti. İntegrali hesaplamak artık son derece kolaydır.
4
ADIM 4 — Yüzey İntegralini Hesapla
Stokes Teoremi'ni uygulayalım:
$$\oint_\Gamma \mathbf{F}\cdot d\mathbf{x} = \iint_D (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\;dA = \iint_D (-4)\;dA$$
$-4$ sabit olduğundan integralin dışına çıkar:
$$= -4\iint_D dA = -4\cdot\text{Alan}(D)$$
Birim disk alanı $= \pi R^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$:
$$= -4\cdot\pi = -4\pi$$
5
ADIM 5 — Yönelim Kontrolü
$\gamma(t) = (\cos t, \sin t, 2)$: $t=0$'da $(1,0,2)$, $t=\pi/2$'de $(0,1,2)$, $t=\pi$'de $(-1,0,2)$...
Yukarıdan bakıldığında ($+z$ yönünden): $x$ pozitiften $y$ pozitife, oradan $x$ negatife gidiş — saat yönünün tersi (CCW).
$$\text{CCW görünümü} + \text{Sağ El Kuralı} \;\Rightarrow\; \mathbf{n} = +\mathbf{k} = (0,0,1) \quad\checkmark$$
Seçtiğimiz normal yönü doğru. Sonuç değişmez. ✓
✓ Sonuç
$$\oint_\Gamma \mathbf{F}\cdot d\mathbf{x} = -4\pi$$
Stokes Teoremi ile eğrisel integral, $z=2$ düzlemindeki birim disk üzerindeki yüzey integraline dönüştürüldü.
$\nabla\times\mathbf{F} = (0,-z^2,-4)$ bulundu; $\mathbf{n}=(0,0,1)$ ile nokta çarpımı sabit $-4$ verdi.
Birim disk alanı $\pi$ olduğundan sonuç $-4\pi$ olarak elde edildi. ✓