SORU-13
Stokes Teoremi ile Curl Akı İntegrali — Üst Yarıküre
Stokes Teoremi'ni kullanarak aşağıdaki yüzey integralini hesaplayınız:
$$\iint_S \operatorname{curl}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$$
▸
Vektör Alanı $\mathbf{F}$:
$$\mathbf{F}(x,y,z) = -y\,\mathbf{i} - x\,\mathbf{j} + yx^3\,\mathbf{k}$$
▸
Yüzey $S$: Yarıçapı $4$ olan $x^2+y^2+z^2=16$ küresinin $z\geq 0$ koşulunu sağlayan kısmı (üst yarıküre).
▸
Yönelim: Yukarı doğrudur.
📐 Bilinmesi Gereken Kural
Stokes Teoremi — Ters Yön
Stokes Teoremi, yüzey integralini sınır eğrisi üzerindeki çizgi integraline dönüştürür:
$$\iint_S \operatorname{curl}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \oint_{\partial S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}$$
Burada $\partial S$, $S$'nin sınır eğrisidir ve yönelimi sağ el kuralı ile belirlenir: yüzey normali $+\mathbf{k}$ (yukarı) ise sınır eğrisi saat yönünün tersi (CCW) yönünde alınır.
$$\text{Yukarı normal}\;\Rightarrow\; \partial S\;\text{yukarıdan bakıldığında CCW}$$
💡 Strateji
Üst yarıkürenin sınırı $\partial S$: $z=0$ düzlemindeki $x^2+y^2=16$ çemberi (yarıçap $R=4$). Stokes ile yüzey integralini bu çember üzerindeki eğrisel integrale dönüştürüyoruz. $z=0$ üzerinde $\mathbf{F} = (-y,-x,yx^3)$; parametrizasyon $\gamma(t)=(4\cos t, 4\sin t, 0)$ ile integral son derece sade bir trig ifadeye indirgenir ve tam periyot üzerinde sıfıra eşit olur.
⚠ Sınır Eğrisinin Yönü
Yüzey normali yukarı ($+\mathbf{k}$) seçildiğinden, sağ el kuralı gereği sınır eğrisi $\partial S$ yukarıdan bakıldığında saat yönünün tersi (CCW) yönünde parametrize edilmelidir. $\gamma(t) = (4\cos t, 4\sin t, 0)$, $t: 0\to 2\pi$ tam olarak bu yönde ilerler. ✓
$\iint_S \operatorname{curl}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$
Yarıküre yüzey integrali
doğrudan zor!
⟹
doğrudan zor!
Stokes Teoremi
$= \oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}$
$\partial S$: $z=0$ çemberi
⟹
$\partial S$: $z=0$ çemberi
$0$
Tam periyot simetrisi ✓
ÇÖZÜM ADIMLARI
1
ADIM 1 — Sınır Eğrisini Belirle ve Parametrize Et
Üst yarıkürenin sınırı $\partial S$: $z = 0$ düzlemindeki $x^2+y^2=16$ çemberi (yarıçap $R=4$).
$S$: Üst yarıküre ($R=4$, $z\geq0$) · $\partial S$: $z=0$ çemberi (CCW) · Normal yukarı
Stokes uygulamasıyla:
$$\iint_S \operatorname{curl}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \oint_{\partial S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}$$
Sınır eğrisini CCW yönünde parametrize edelim:
$$\gamma(t) = (4\cos t,\;4\sin t,\;0), \quad t \in [0,\,2\pi]$$
$$\gamma'(t) = (-4\sin t,\;4\cos t,\;0)$$
2
ADIM 2 — $\mathbf{F}$'yi Eğri Üzerinde Değerlendir
$\gamma(t)$ noktasında $x=4\cos t$, $y=4\sin t$, $z=0$:
F₁ = −y
$-y = -4\sin t$
F₂ = −x
$-x = -4\cos t$
F₃ = yx³
$(4\sin t)(4\cos t)^3 = 4\sin t \cdot 64\cos^3 t = 256\sin t\cos^3 t$
$$\mathbf{F}(\gamma(t)) = (-4\sin t,\;-4\cos t,\;256\sin t\cos^3 t)$$
3
ADIM 3 — Nokta Çarpımı $\mathbf{F}\cdot\gamma'(t)$ Hesapla
$\mathbf{F}\cdot\gamma'(t) = F_1\cdot(-4\sin t) + F_2\cdot(4\cos t) + F_3\cdot 0$:
$$= (-4\sin t)(-4\sin t) + (-4\cos t)(4\cos t) + 256\sin t\cos^3 t \cdot 0$$
$$= 16\sin^2 t - 16\cos^2 t + 0$$
$$= -16(\cos^2 t - \sin^2 t) = -16\cos 2t$$
$z=0$ olduğundan $F_3$ terimi yok oldu; $yx^3$ bileşeni integral hesabını hiç etkilemiyor!
4
ADIM 4 — Eğrisel İntegrali Hesapla
Stokes integralini hesaplayalım:
$$\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{x} = \int_0^{2\pi} (-16\cos 2t)\;dt$$
$$= -16\int_0^{2\pi}\cos 2t\;dt = -16\left[\frac{\sin 2t}{2}\right]_0^{2\pi}$$
$$= -16\cdot\frac{\sin(4\pi) - \sin(0)}{2} = -16\cdot\frac{0-0}{2} = 0$$
$\cos 2t$ fonksiyonu $[0,2\pi]$ tam periyodunda simetrik olarak sıfıra integrallendir: pozitif ve negatif katkılar birbirini tam olarak götürür. $\sin 2t$ ilkeli, her tam periyotta başlangıç noktasına döner.
5
ADIM 5 — Neden Sıfır? Geometrik Yorum
İntegrand $-16\cos 2t$'nin $[0,2\pi]$ üzerindeki davranışını inceleyelim:
$$\int_0^{2\pi}\cos 2t\,dt = \underbrace{\int_0^{\pi/2}\cos 2t\,dt}_{+1/2} + \underbrace{\int_{\pi/2}^{\pi}\cos 2t\,dt}_{-1/2} + \underbrace{\int_{\pi}^{3\pi/2}\cos 2t\,dt}_{+1/2} + \underbrace{\int_{3\pi/2}^{2\pi}\cos 2t\,dt}_{-1/2} = 0$$
$\cos 2t$ fonksiyonu tam $[0,2\pi]$ aralığında iki tam periyot tamamlar; her pozitif yarım dalga bir negatif yarım dalga ile sıfırlanır.
Aynı sonuca $\mathbf{F} = (-y,-x, yx^3)$ alanının $z$-bileşeninin $\partial S$ üzerinde $(z=0)$ integral katkısı sıfır olduğu gözleminden de ulaşılabilir.
✓ Sonuç
$$\iint_S \operatorname{curl}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = 0$$
Stokes Teoremi ile yüzey integrali, $z=0$ düzlemindeki $R=4$ çemberi üzerindeki eğrisel integrale dönüştürüldü.
$\mathbf{F}\cdot\gamma'(t) = -16\cos 2t$ bulundu; tam periyot üzerindeki integrali $0$ verdi.
$yx^3$ bileşeni $z=0$'da $\gamma'$'nin $z$-bileşeni sıfır olduğundan hiçbir katkı sağlamadı. ✓