SORU-14
Stokes Teoremi ile Curl Akı İntegrali — Paraboloid Yüzey
Stokes Teoremi'ni kullanarak aşağıdaki yüzey integralini hesaplayınız:
$$\iint_S \operatorname{curl}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$$
▸
Vektör Alanı $\mathbf{F}$:
$$\mathbf{F}(x,y,z) = (z^2 - 1)\,\mathbf{i} + (z + xy^3)\,\mathbf{j} + 6\,\mathbf{k}$$
▸
Yüzey $S$: $x = 6 - 4y^2 - 4z^2$ denklemiyle verilen yüzeyin, $x = -2$ düzleminin önünde kalan kısmı.
▸
Yönelim: Negatif $x$-ekseni yönündedir ($-\mathbf{i}$).
📐 Bilinmesi Gereken Kural
Stokes Teoremi
Stokes Teoremi, yüzey integralini sınır eğrisi üzerindeki çizgi integraline dönüştürür:
$$\iint_S \operatorname{curl}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \oint_{\partial S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}$$
Burada $\partial S$, $S$'nin sınır eğrisidir ve yönelimi sağ el kuralı ile belirlenir.
💡 Strateji
Yüzey $x = 6 - 4y^2 - 4z^2$ paraboloididir. Sınır eğrisi $x = -2$ düzlemi ile kesişimdir:
$$6 - 4y^2 - 4z^2 = -2 \implies y^2 + z^2 = 2$$
Yani $\partial S$: $x = -2$, $y^2 + z^2 = 2$ çemberi. Stokes ile yüzey integralini bu çember üzerindeki eğrisel integrale dönüştürüyoruz.
⚠ Yönelim
Yüzey normali $-\mathbf{i}$ (negatif $x$) yönünde. Sağ el kuralı gereği, sınır eğrisi $yz$-düzleminde saat yönünde parametrize edilmelidir.
$\iint_S \operatorname{curl}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$
Paraboloid yüzey integrali
⟹
Stokes Teoremi
$= \oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}$
$\partial S$: $x=-2$, $y^2+z^2=2$ çemberi
⟹
$\partial S$: $x=-2$, $y^2+z^2=2$ çemberi
$2\pi$
Saat yönü ile sonuç $2\pi$
ÇÖZÜM ADIMLARI
1
ADIM 1 — Sınır Eğrisini Belirle ve Parametrize Et
Sınır eğrisi $\partial S$: $x = -2$, $y^2 + z^2 = 2$.
$$y = \sqrt{2}\cos t,\quad z = \sqrt{2}\sin t,\quad x = -2$$
Saat yönü için (negatif $x$ normali):
$$\gamma(t) = (-2,\; \sqrt{2}\cos t,\; -\sqrt{2}\sin t),\quad t\in[0,2\pi]$$
Yönelim düzeltmesi yapmadan önce standart yönde ($0\to2\pi$) hesaplayıp sonunda $-$ ile çarpacağız.
2
ADIM 2 — $\mathbf{F}$'yi Eğri Üzerinde Değerlendir
$\gamma(t)$ noktasında $x=-2$, $y=\sqrt{2}\cos t$, $z=\sqrt{2}\sin t$:
F₁ = z² − 1
$2\sin^2 t - 1$
F₂ = z + xy³
$\sqrt{2}\sin t + (-2)(2\sqrt{2}\cos^3 t) = \sqrt{2}\sin t - 4\sqrt{2}\cos^3 t$
F₃ = 6
$6$
3
ADIM 3 — $\mathbf{F}\cdot\gamma'(t)$ Hesapla
$\gamma'(t) = (0,\; -\sqrt{2}\sin t,\; -\sqrt{2}\cos t)$
$$\mathbf{F}\cdot\gamma'(t) = 0\cdot F_1 + (-\sqrt{2}\sin t)F_2 + (-\sqrt{2}\cos t)F_3$$
$$= -\sqrt{2}\sin t\left(\sqrt{2}\sin t - 4\sqrt{2}\cos^3 t\right) - \sqrt{2}\cos t \cdot 6$$
$$= -2\sin^2 t + 8\sin t\cos^3 t - 6\sqrt{2}\cos t$$
4
ADIM 4 — Eğrisel İntegrali Hesapla (Standart Yön)
$\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{x} = \int_0^{2\pi} \left(-2\sin^2 t + 8\sin t\cos^3 t - 6\sqrt{2}\cos t\right)dt$
$\int_0^{2\pi} -2\sin^2 t\,dt = -2\pi$
$\int_0^{2\pi} 8\sin t\cos^3 t\,dt = 0$ (tek fonksiyon)
$\int_0^{2\pi} -6\sqrt{2}\cos t\,dt = 0$
$$\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{x} = -2\pi \quad (\text{standart yön})$$
5
ADIM 5 — Yönelim Düzeltmesi
Yüzey normali $-\mathbf{i}$ olduğu için sınır eğrisi saat yönünde alınmalıdır. Standart yön (ters saat yönü) ile hesapladığımız $-2\pi$ değerini saat yönü için $-1$ ile çarparız:
$$\oint_{\partial S,\;\text{saat yönü}} = -(-2\pi) = 2\pi$$
Negatif $x$ normali → saat yönünde eğri → integral işareti ters çevrilir.
✓ Sonuç
$$\iint_S \operatorname{curl}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = 2\pi$$
Stokes Teoremi ile yüzey integrali, $x=-2$, $y^2+z^2=2$ çemberi üzerindeki çizgi integraline dönüştü.
Hesaplama sonucu $2\pi$ bulundu.