SORU-15
Stokes Teoremi ile Çizgi İntegrali — Düzlemde Çember
Stokes Teoremi'ni kullanarak aşağıdaki çizgi integralini hesaplayınız:
$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$
▸
Vektör Alanı $\mathbf{F}$:
$$\mathbf{F}(x,y,z) = -yz\,\mathbf{i} + (4y+1)\,\mathbf{j} + xy\,\mathbf{k}$$
▸
Eğri $C$: $y = 4$ düzleminde bulunan ve bu düzleme dik olan yarıçapı $3$ olan bir çember.
▸
Yönelim: $C$, pozitif $y$-ekseninden negatif $y$-eksenine doğru baktığınızda saat yönünde (clockwise) dönmektedir.
📐 Bilinmesi Gereken Kural
Stokes Teoremi
Stokes Teoremi, çizgi integralini yüzey integraline dönüştürür:
$$\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}$$
Burada $S$, $C$ ile sınırlı bir yüzeydir ve yönelim sağ el kuralı ile uyumludur.
💡 Strateji
Eğri $C$, $y=4$ düzleminde $x^2+z^2=9$ çemberidir. En kolay yüzey $S$: $y=4$ düzlemindeki disk ($x^2+z^2 \le 9$, $y=4$).
Yönelim: Saat yönünde dönüş → normal vektör $-\mathbf{j}$ olmalıdır (negatif $y$ yönü).
Stokes ile $\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot (-\mathbf{j})\, dA$ hesaplanacak.
Yönelim: Saat yönünde dönüş → normal vektör $-\mathbf{j}$ olmalıdır (negatif $y$ yönü).
Stokes ile $\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot (-\mathbf{j})\, dA$ hesaplanacak.
⚠ Yönelim ve Normal
Sağ el kuralı: Başparmak normal yönünü, parmaklar eğrinin yönünü gösterir.
Pozitif $y$'den negatif $y$'ye bakarken saat yönü → başparmak $-\mathbf{j}$ (aşağı) yönünde olmalıdır.
Dolayısıyla $d\mathbf{S} = -\mathbf{j}\, dA$, $dA = dx\,dz$.
Pozitif $y$'den negatif $y$'ye bakarken saat yönü → başparmak $-\mathbf{j}$ (aşağı) yönünde olmalıdır.
Dolayısıyla $d\mathbf{S} = -\mathbf{j}\, dA$, $dA = dx\,dz$.
$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$
Çember üzerinde çizgi integrali
⟹
Stokes Teoremi
$= \iint_S (\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$
$S$: $y=4$ diski, $x^2+z^2\le 9$
⟹
$S$: $y=4$ diski, $x^2+z^2\le 9$
$72\pi$
$2y$ ile çarpılıp disk alanı ile hesaplanır
ÇÖZÜM ADIMLARI
1
ADIM 1 — Curl Hesapla
$\nabla \times \mathbf{F}$ determinant ile bulunur:
$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\partial_x & \partial_y & \partial_z \\
-yz & 4y+1 & xy
\end{vmatrix}$$
$(\nabla \times \mathbf{F})_x = \frac{\partial}{\partial y}(xy) - \frac{\partial}{\partial z}(4y+1) = x - 0 = x$
$(\nabla \times \mathbf{F})_y = \frac{\partial}{\partial z}(-yz) - \frac{\partial}{\partial x}(xy) = (-y) - y = -2y$
$(\nabla \times \mathbf{F})_z = \frac{\partial}{\partial x}(4y+1) - \frac{\partial}{\partial y}(-yz) = 0 - (-z) = z$
$$\nabla \times \mathbf{F} = (x,\; -2y,\; z)$$
2
ADIM 2 — Yüzey ve Normal Seçimi
En basit yüzey: $C$ ile sınırlı disk
$$S:\; y=4,\quad x^2+z^2 \le 9$$
Yönelim: Saat yönü (yukarıdan aşağı bakınca) → normal $-\mathbf{j}$
$$\mathbf{n}\,dS = -\mathbf{j}\,dA,\quad dA = dx\,dz$$
3
ADIM 3 — Yüzey İntegralini Yaz
$$\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \iint_{x^2+z^2\le 9} (x,\; -2y,\; z) \cdot (0,-1,0)\, dA$$
$$= \iint (-2y)\cdot(-1)\, dA = \iint 2y\, dA$$
Yüzey üzerinde $y=4$ sabit olduğu için:
$$= 2\cdot 4 \cdot \text{(alanı)} = 8 \cdot \text{Alan}$$
4
ADIM 4 — Alan Hesabı
Diskin yarıçapı $R=3$:
$$\text{Alan} = \pi R^2 = \pi \cdot 9 = 9\pi$$
$$\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = 8 \cdot 9\pi = 72\pi$$
5
ADIM 5 — Sonuç
Stokes Teoremi gereği:
$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 72\pi$$
Yönelim doğru ayarlandığında sonuç $72\pi$ olur. $x$ ve $z$ bileşenleri simetriden sıfır katkı yapar, $y$ sabit olduğu için integral alan çarpı $2y$'ye dönüşür.
✓ Sonuç
$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 72\pi$$
Stokes Teoremi ile çizgi integrali, $y=4$ düzlemindeki disk üzerinde curl'un akısına dönüştü.
$ \nabla \times \mathbf{F} = (x,-2y,z)$ ve normal $-\mathbf{j}$ ile $2y$ kalır.
$y=4$ sabit, disk alanı $9\pi$ → sonuç $72\pi$.