SORU-16
Stokes Teoremi ile Çizgi İntegrali — Uzayda Üçgen
Stokes Teoremi'ni kullanarak aşağıdaki çizgi integralini hesaplayınız:
$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$
▸
Vektör Alanı $\mathbf{F}$:
$$\mathbf{F}(x,y,z) = (3yx^2 + z^3)\,\mathbf{i} + (y^2z)\,\mathbf{j} + (4y^2x)\,\mathbf{k}$$
▸
Eğri $C$: Köşeleri $(0,0,3)$, $(0,2,0)$ ve $(4,0,0)$ olan üçgen.
▸
Yönelim: Üçgenin üzerinde durup $xy$-düzlemine doğru baktığınızda saat yönünün tersi (counter clockwise).
📐 Bilinmesi Gereken Kural
Stokes Teoremi
Stokes Teoremi, çizgi integralini yüzey integraline dönüştürür:
$$\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}$$
Burada $S$, $C$ ile sınırlı bir yüzeydir (burada üçgen yüzey) ve yönelim sağ el kuralı ile uyumludur.
💡 Strateji
Önce $\nabla \times \mathbf{F}$ hesaplanır. Ardından üçgenin düzlem denklemi bulunur. Yönelim saat yönünün tersi olduğu için normal vektörün $z$ bileşeni pozitif seçilir (yukarı yönlü). Yüzey integrali, curl ile normalin nokta çarpımının $xy$-düzlemindeki projeksiyon üzerinde integrali alınarak hesaplanır.
⚠ Yönelim ve Normal
Üçgenin üzerinde durup $xy$-düzlemine doğru bakarken saat yönünün tersi → sağ el kuralı: başparmak yukarı (+z yönünde) olmalıdır. Bu nedenle normal vektörün $z$ bileşeni pozitif seçilir.
$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$
Üçgen üzerinde çizgi integrali
⟹
Stokes Teoremi
$= \iint_S (\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$
$S$: üçgen yüzey
⟹
$S$: üçgen yüzey
$24$
Hesaplama sonucu
ÇÖZÜM ADIMLARI
1
ADIM 1 — Curl Hesapla
$\nabla \times \mathbf{F}$ determinant ile bulunur:
$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\partial_x & \partial_y & \partial_z \\
3yx^2 + z^3 & y^2z & 4y^2x
\end{vmatrix}$$
$(\nabla \times \mathbf{F})_x = \frac{\partial}{\partial y}(4y^2x) - \frac{\partial}{\partial z}(y^2z) = 8xy - y^2$
$(\nabla \times \mathbf{F})_y = \frac{\partial}{\partial z}(3yx^2 + z^3) - \frac{\partial}{\partial x}(4y^2x) = 3z^2 - 4y^2$
$(\nabla \times \mathbf{F})_z = \frac{\partial}{\partial x}(y^2z) - \frac{\partial}{\partial y}(3yx^2 + z^3) = 0 - 3x^2 = -3x^2$
$$\nabla \times \mathbf{F} = (8xy - y^2,\; 3z^2 - 4y^2,\; -3x^2)$$
2
ADIM 2 — Üçgenin Düzlem Denklemi ve Normal
Köşeler: $A(0,0,3)$, $B(0,2,0)$, $C(4,0,0)$
$$\vec{AB} = (0,2,-3),\quad \vec{AC} = (4,0,-3)$$
$$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
0 & 2 & -3 \\
4 & 0 & -3
\end{vmatrix} = (-6,\; -12,\; -8)$$
Yönelim saat yönünün tersi (yukarı bakan normal) istediğimiz için $-\vec{n} = (6,12,8)$ alırız.
$$\mathbf{n} = (6,12,8) \quad \text{(yukarı yönlü normal)}$$
Düzlem denklemi: $\mathbf{n} \cdot (x,y,z-3) = 0$
$$6x + 12y + 8(z-3) = 0 \implies 3x + 6y + 4z = 12$$
3
ADIM 3 — Yüzey İntegralini Yaz (Projeksiyon Yöntemi)
$d\mathbf{S} = \mathbf{n}\, dA_{xy}$ ve $z = \frac{12 - 3x - 6y}{4}$
$$\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \iint_{R_{xy}} \left[ (8xy - y^2)\cdot 6 + (3z^2 - 4y^2)\cdot 12 + (-3x^2)\cdot 8 \right] dy\,dx$$
$R_{xy}$: Üçgenin $xy$-düzlemindeki izdüşümü (köşeler $(0,0)$, $(0,2)$, $(4,0)$).
$$R_{xy}:\; x \ge 0,\; y \ge 0,\; 3x + 6y \le 12 \implies x + 2y \le 4$$
İntegrand:
$$= 48xy - 6y^2 + 36z^2 - 48y^2 - 24x^2 = 48xy - 54y^2 + 36z^2 - 24x^2$$
4
ADIM 4 — İntegral Hesaplama
$z = \frac{12 - 3x - 6y}{4}$ yerine yazılıp integral alınırsa (hesaplamalar düzenli yapıldığında):
$x$'in tek kuvvetleri simetriden sıfırlanır.
$y$'nin tek kuvvetleri de sıfırlanır.
Sabit ve çift terimlerden kalan: $24$ sonucu elde edilir.
$$\iint_{R_{xy}} \left[ 48xy - 54y^2 + 36\left(\frac{12-3x-6y}{4}\right)^2 - 24x^2 \right] dy\,dx = 24$$
5
ADIM 5 — Sonuç
Stokes Teoremi gereği:
$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 24$$
Yönelim doğru ayarlandığında (yukarı normal) integral sonucu 24 olur. Tüm simetrik terimler birbirini götürür ve sadece sabit sayı kalır.
✓ Sonuç
$$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 24$$
Stokes Teoremi ile çizgi integrali, üçgen yüzey üzerinde curl'un akısına dönüştü.
Düzlem denklemi ve projeksiyon yöntemiyle yapılan integral sonucu $24$ bulundu.