SORU-17
Divergence Teoremi ile Yüzey İntegrali — Paraboloid
Aşağıdaki yüzey integralini hesaplayınız:
$$\iint_P F \cdot n \, d\sigma$$
▸
Yüzey $P$: $P := \{(x, y, z)^T \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 - 3z = 0,\ 0 \leq z \leq 3\}$ (dönel paraboloidin yan yüzeyi)
▸
Vektör Alanı $F$: $F(x, y, z) = (x^2 - y^2z,\; xz^2 - yz,\; -2xz + z^2)^T$
▸
Normal: $n$, $P$ üzerinde negatif $z$-bileşenine sahip birim normal vektör alanıdır (paraboloidin içine doğru).
📐 Bilinmesi Gereken Kural
Divergence Teoremi (Gauss)
Divergence Teoremi, bir hacmin sınırı üzerindeki yüzey integrali ile hacim içindeki diverjansın hacim integrali arasında ilişki kurar:
$$\iint_{\partial V} F \cdot n_{\text{dış}} \, d\sigma = \iiint_V \nabla \cdot F \, dV$$
Burada $V$, kapalı bölgedir ve $n_{\text{dış}}$ dışa yönlü birim normaldir.
💡 Strateji
Paraboloidin yan yüzeyi ($P$) + üst kapak ($z=3$ düzleminde disk) kapalı bir yüzey oluşturur. Alt uç ($z=0$) sadece bir noktadır, alanı sıfırdır. Önce hacim integrali (diverjans) ve üst kapaktaki akı hesaplanır. Dışa normal (yukarı) için divergence teoremi uygulanıp içe normal (istenen) akı bulunur.
⚠ Normal Yönü
Paraboloidin yan yüzeyinde $n$, negatif $z$-bileşenine sahip → içe doğru normal. Divergence teoremi dışa normal içindir. Önce dışa normal için akı hesaplanacak, sonra işaret değiştirilecektir.
$\iint_P F \cdot n_{\text{iç}} \, d\sigma$
Paraboloid yan yüzey (içe normal)
⟺
Kapalı yüzey + Üst kapak
$V$: paraboloid içi bölge
⟹
$V$: paraboloid içi bölge
$54\pi$
Hacim integrali − üst kapak akısı
ÇÖZÜM ADIMLARI
1
ADIM 1 — Diverjans Hesapla
$\nabla \cdot F = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 - y^2z) + \frac{\partial}{\partial y}(xz^2 - yz) + \frac{\partial}{\partial z}(-2xz + z^2)$
$\partial_x (x^2 - y^2z) = 2x$
$\partial_y (xz^2 - yz) = -z$
$\partial_z (-2xz + z^2) = -2x + 2z$
$$\nabla \cdot F = 2x + (-z) + (-2x + 2z) = (2x - 2x) + (-z + 2z) = z$$
2
ADIM 2 — Hacim İntegrali (Diverjans)
$V$: $x^2 + y^2 \le 3z$, $0 \le z \le 3$ (paraboloidin içi).
$$\iiint_V \nabla \cdot F \, dV = \iiint_V z \, dV$$
Silindirik koordinat: $r^2 \le 3z$, $0 \le z \le 3$, $0 \le r \le \sqrt{3z}$.
$$= \int_0^3 \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{3z}} z \cdot r \, dr\, d\theta\, dz
= 2\pi \int_0^3 z \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^{\sqrt{3z}} dz$$
$$= \pi \int_0^3 z \cdot (3z) \, dz = 3\pi \int_0^3 z^2 \, dz
= 3\pi \left[ \frac{z^3}{3} \right]_0^3 = 3\pi \cdot \frac{27}{3} = 27\pi$$
3
ADIM 3 — Üst Kapak ($z=3$) Akısı (Dışa Normal)
Üst kapak: $z=3$, $x^2 + y^2 \le 9$, dışa normal $+\mathbf{k}$.
$$F \cdot n_{\text{dış}} = (-2xz + z^2)\big|_{z=3} = -6x + 9$$
$$\iint_{z=3} (-6x + 9) \, dA = \iint 9 \, dA \quad (\text{x tek, simetriden 0})$$
$$= 9 \cdot (\pi \cdot 3^2) = 81\pi$$
4
ADIM 4 — Divergence Teoremi (Dışa Normal için Paraboloid Yan Yüzey)
Kapalı yüzey $S_{\text{kapalı}} = P \cup \text{(üst kapak)}$ için:
$$\iiint_V \nabla \cdot F \, dV = \iint_{P} F \cdot n_{\text{out}} \, d\sigma + \iint_{\text{üst}} F \cdot n_{\text{out}} \, d\sigma$$
$$27\pi = \iint_{P} F \cdot n_{\text{out}} \, d\sigma + 81\pi$$
$$\iint_{P} F \cdot n_{\text{out}} \, d\sigma = 27\pi - 81\pi = -54\pi$$
Bu, paraboloid yan yüzeyinin dışa normal için akısıdır.
5
ADIM 5 — İçe Normal için Akı (İstenen)
Soruda istenen: $n$ negatif $z$-bileşenine sahip → içe normal.
$$n_{\text{iç}} = -n_{\text{out}} \quad \Rightarrow \quad F \cdot n_{\text{iç}} = -F \cdot n_{\text{out}}$$
$$\iint_{P} F \cdot n_{\text{iç}} \, d\sigma = - \iint_{P} F \cdot n_{\text{out}} \, d\sigma = -(-54\pi) = 54\pi$$
Paraboloidin içine doğru yönlü normal ile akı $54\pi$ olur. Diverjans teoremi sayesinde doğrudan yüzey integrali hesaplanmadan sonuca ulaşılmıştır.
✓ Sonuç
$$\iint_P F \cdot n \, d\sigma = 54\pi$$
Diverjans teoremi ile hacim integrali ($27\pi$) ve üst kapaktaki akı ($81\pi$) kullanılarak paraboloid yan yüzeyi için dışa normal akı $-54\pi$, içe normal (istenen) akı $54\pi$ bulunmuştur.