SORU-18
Divergence Teoremi ile Akı İntegrali — Kürenin Çeyreği
Diverjans Teoremi'ni kullanarak aşağıdaki akı integralini hesaplayınız:
$$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$$
▸
Vektör Alanı $\mathbf{F}$:
$$\mathbf{F} = yx^2\,\mathbf{i} + (xy^2 - 3x^4)\,\mathbf{j} + (x^3 + y^2)\,\mathbf{k}$$
▸
Yüzey $S$: Yarıçapı $4$ olan kürenin $z \leq 0$ ve $y \leq 0$ koşullarını sağlayan katı cisminin tüm yüzeyi.
📐 Bilinmesi Gereken Kural
Divergence Teoremi (Gauss)
Kapalı bir yüzey üzerindeki akı, hacim içindeki diverjansın hacim integraline eşittir:
$$\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$$
Burada $V$, $S$ ile sınırlanan hacimdir ve yönelim dışa doğrudur.
💡 Strateji
$S$, kürenin $z \le 0$ (alt yarıküre) ve $y \le 0$ (negatif $y$ yarısı) koşullarını sağlayan katı cisminin tüm yüzeyidir. Bu, kapalı bir yüzeydir. Diverjans teoremi doğrudan uygulanabilir. $\nabla \cdot \mathbf{F}$ hesaplanır, ardından simetri nedeniyle hacim integralinin sıfır olduğu gösterilir.
⚠ Simetri Uyarısı
Bölge $z \le 0$, $y \le 0$ koşullarına sahiptir. $x$ ekseni simetriktir ($-4 \le x \le 4$). Diverjans $4xy$ olduğundan, $x$'e göre tek fonksiyon simetrik aralıkta sıfır integral verir.
$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$
Kürenin çeyreği yüzeyi
⟹
Divergence Teoremi
$= \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\, dV$
⟹
$0$
Simetri nedeniyle
ÇÖZÜM ADIMLARI
1
ADIM 1 — Diverjans Hesapla
$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(yx^2) + \frac{\partial}{\partial y}(xy^2 - 3x^4) + \frac{\partial}{\partial z}(x^3 + y^2)$
$\partial_x (yx^2) = 2xy$
$\partial_y (xy^2 - 3x^4) = 2xy - 0 = 2xy$
$\partial_z (x^3 + y^2) = 0$
$$\nabla \cdot \mathbf{F} = 2xy + 2xy + 0 = 4xy$$
2
ADIM 2 — Hacim İntegrali (Divergence Teoremi)
$$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V 4xy \, dV$$
Burada $V$, kürenin $z \le 0$, $y \le 0$ olan çeyreğidir.
3
ADIM 3 — Simetri Analizi
Bölge $V$ şu şekilde tanımlanır:
$$x^2 + y^2 + z^2 \le 16,\quad y \le 0,\quad z \le 0$$
$x$ ekseni simetriktir: $x \in [-4,4]$ aralığında, $xy$ fonksiyonu $x$'e göre tektir.
$$\text{$x$'e göre tek fonksiyon} \quad \Rightarrow \quad \iiint_V 4xy \, dV = 0$$
Her sabit $(y,z)$ için $x$ simetrik aralıkta integrallenir. $xy$ fonksiyonu $x$'e göre tek olduğundan integral sıfırdır.
4
ADIM 4 — Sonuç
$$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = 0$$
Diverjans $4xy$ olduğu ve hacim $x$'e göre simetrik olduğu için integral sıfırdır. Bu nedenle yüzey akısı da sıfırdır.
✓ Sonuç
$$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = 0$$
Diverjans teoremi ile akı integrali hacim integraline dönüştürüldü. $\nabla \cdot \mathbf{F} = 4xy$ ve hacim $x$'e göre simetrik olduğundan integral sıfır bulundu.