SORU-19
Divergence Teoremi ile Akı İntegrali — Dikdörtgen Prizma
Diverjans Teoremi'ni kullanarak aşağıdaki akı integralini hesaplayınız:
$$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$$
▸
Vektör Alanı $\mathbf{F}$:
$$\mathbf{F} = \sin(\pi x)\,\mathbf{i} + (z y^3)\,\mathbf{j} + (z^2 + 4x)\,\mathbf{k}$$
▸
Yüzey $S$: $-1 \leq x \leq 2,\; 0 \leq y \leq 1,\; 1 \leq z \leq 4$ aralıklarıyla tanımlanan dikdörtgen prizmanın tüm yüzeyi.
📐 Bilinmesi Gereken Kural
Divergence Teoremi (Gauss)
Kapalı bir yüzey üzerindeki akı, hacim içindeki diverjansın hacim integraline eşittir:
$$\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$$
Burada $V$, $S$ ile sınırlanan hacimdir ve yönelim dışa doğrudur.
💡 Strateji
$\nabla \cdot \mathbf{F}$ hesaplanır. Diverjans üç terimlidir. $\cos(\pi x)$'in $x$ aralığındaki integrali simetriden sıfırlanır. Kalan terimler ayrı ayrı integrallendikten sonra toplanır. Sonuç $\frac{135}{2}$ olur.
⚠ Dikkat
$\sin(\pi x)$'in türevi $\pi \cos(\pi x)$'tir. $x$ aralığı $[-1,2]$ simetrik değildir. Ancak $\cos(\pi x)$ teriminin integralinin sıfır olduğu doğrudan hesaplanabilir.
$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$
Prizma yüzeyi
⟹
Divergence Teoremi
$= \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\, dV$
⟹
$\frac{135}{2}$
Hacim integrali sonucu
ÇÖZÜM ADIMLARI
1
ADIM 1 — Diverjans Hesapla
$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(\sin(\pi x)) + \frac{\partial}{\partial y}(z y^3) + \frac{\partial}{\partial z}(z^2 + 4x)$
$\partial_x (\sin(\pi x)) = \pi \cos(\pi x)$
$\partial_y (z y^3) = 3z y^2$
$\partial_z (z^2 + 4x) = 2z$
$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \pi \cos(\pi x) + 3z y^2 + 2z$$
2
ADIM 2 — Hacim İntegralini Yaz
$$V: x \in [-1,2],\; y \in [0,1],\; z \in [1,4]$$
$$\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV = \iiint_V \pi \cos(\pi x) \, dV + \iiint_V 3z y^2 \, dV + \iiint_V 2z \, dV$$
3
ADIM 3 — Birinci Terim
$$\iiint_V \pi \cos(\pi x) \, dV = \int_{-1}^{2} \pi \cos(\pi x) \, dx \cdot \int_{0}^{1} dy \cdot \int_{1}^{4} dz$$
$\int_{-1}^{2} \pi \cos(\pi x) \, dx = \left[ \sin(\pi x) \right]_{-1}^{2} = \sin(2\pi) - \sin(-\pi) = 0 - 0 = 0$
$$\iiint_V \pi \cos(\pi x) \, dV = 0$$
4
ADIM 4 — İkinci ve Üçüncü Terimler
İkinci terim: $\iiint_V 3z y^2 \, dV$
$\int_{x=-1}^{2} dx = 3$
$\int_{y=0}^{1} y^2 \, dy = \frac{1}{3}$
$\int_{z=1}^{4} 3z \, dz = 3 \cdot \frac{16-1}{2} = \frac{45}{2}$
$$= 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{45}{2} = \frac{45}{2}$$
Üçüncü terim: $\iiint_V 2z \, dV$
$\int_{x=-1}^{2} dx = 3$
$\int_{y=0}^{1} dy = 1$
$\int_{z=1}^{4} 2z \, dz = 16 - 1 = 15$
$$= 3 \cdot 1 \cdot 15 = 45$$
5
ADIM 5 — Toplam ve Sonuç
$$\iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV = 0 + \frac{45}{2} + 45$$
$$= \frac{45}{2} + \frac{90}{2} = \frac{135}{2}$$
Diverjans teoremi gereği yüzey integrali hacim integraline eşittir. Hacim integrali $\frac{135}{2}$ olarak hesaplanır.
✓ Sonuç
$$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \frac{135}{2}$$
Diverjans teoremi ile akı integrali hacim integraline dönüştürüldü. $\nabla \cdot \mathbf{F} = \pi \cos(\pi x) + 3z y^2 + 2z$ hesaplanıp hacim üzerinde integrallendi. $\cos(\pi x)$ terimi $x$ aralığında sıfır katkı yaptı. Kalan terimlerin integrali $\frac{135}{2}$ verdi.