SORU-20
Divergence Teoremi ile Akı İntegrali — Paraboloid + Düzlem
Diverjans Teoremi'ni kullanarak aşağıdaki akı integralini hesaplayınız:
$$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$$
▸
Vektör Alanı $\mathbf{F}$:
$$\mathbf{F} = 2xz\,\mathbf{i} + (1 - 4xy^2)\,\mathbf{j} + (2z - z^2)\,\mathbf{k}$$
▸
Yüzey $S$: $z = 6 - 2x^2 - 2y^2$ paraboloidi ve $z = 0$ düzlemi ile sınırlanan katı cismin tüm yüzeyi.
📐 Bilinmesi Gereken Kural
Divergence Teoremi (Gauss)
Kapalı bir yüzey üzerindeki akı, hacim içindeki diverjansın hacim integraline eşittir:
$$\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$$
Burada $V$, $S$ ile sınırlanan hacimdir ve yönelim dışa doğrudur.
💡 Strateji
$\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 - 8xy$ bulunur. $xy$ terimi $x$'e göre tek fonksiyon olduğundan ve bölge $x$'e göre simetrik olduğundan integrali sıfırdır. Yüzey integrali, $2 \cdot (\text{hacim})$'e eşit olur. Paraboloid altındaki hacim hesaplanır.
⚠ Simetri
$xy$ fonksiyonu $x$'e göre tektir. Paraboloidin tabanı $x^2+y^2\le3$ olduğundan $x$ simetriktir. Bu nedenle $\iiint_V xy\,dV = 0$.
$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$
Paraboloid + taban yüzeyi
⟹
Divergence Teoremi
$= \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\, dV$
⟹
$18\pi$
$2 \times \text{hacim} = 2 \times 9\pi$
ÇÖZÜM ADIMLARI
1
ADIM 1 — Diverjans Hesapla
$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(2xz) + \frac{\partial}{\partial y}(1 - 4xy^2) + \frac{\partial}{\partial z}(2z - z^2)$
$\partial_x (2xz) = 2z$
$\partial_y (1 - 4xy^2) = -8xy$
$\partial_z (2z - z^2) = 2 - 2z$
$$\nabla \cdot \mathbf{F} = 2z - 8xy + 2 - 2z = 2 - 8xy$$
2
ADIM 2 — Hacim İntegralini Yaz
$$\iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV = \iiint_V 2 \, dV - 8 \iiint_V xy \, dV$$
Bölge $V$: $0 \le z \le 6 - 2x^2 - 2y^2$, $x^2 + y^2 \le 3$
3
ADIM 3 — Simetri ile $xy$ Teriminin Sıfırlanması
$xy$ fonksiyonu $x$'e göre tektir. Bölge $x$'e göre simetriktir (her $y,z$ için $x$ aralığı $-a$ ile $+a$). Dolayısıyla:
$$\iiint_V xy \, dV = 0$$
$x$'in simetrik aralığında $xy$'nin integrali sıfırdır.
4
ADIM 4 — Hacim Hesaplama
Hacim: $\iiint_V 2 \, dV = 2 \cdot \text{Vol}(V)$
$$\text{Vol}(V) = \iint_{x^2+y^2\le 3} \left(6 - 2x^2 - 2y^2\right) dA$$
Silindirik koordinat: $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$
$\iint_{x^2+y^2\le 3} 6 \, dA = 6 \cdot (\pi \cdot 3) = 18\pi$
$\iint_{x^2+y^2\le 3} 2(x^2+y^2) \, dA = 2 \int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{3}} r^2 \cdot r \, dr\, d\theta = 4\pi \cdot \frac{9}{4} = 9\pi$
$$\text{Vol}(V) = 18\pi - 9\pi = 9\pi$$
$$\iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV = 2 \cdot 9\pi = 18\pi$$
5
ADIM 5 — Sonuç
$$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = 18\pi$$
Diverjans teoremi ile hacim integrali hesaplandı. $xy$ terimi simetriden sıfır, kalan $2 \times \text{hacim} = 18\pi$.
✓ Sonuç
$$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = 18\pi$$
Diverjans teoremi ile yüzey integrali hacim integraline dönüştürüldü. $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 - 8xy$, $xy$ terimi simetriden sıfır katkı sağladı. Hacim $9\pi$ olarak hesaplandı. Yüzey integrali $2 \cdot 9\pi = 18\pi$ bulundu.