BUders | Akı İntegrali — Küre Alt Yarısı Çözüm

SORU-7 Akı İntegrali (Fluks) Hesaplama

$\mathcal{F}$ yüzeyi $\mathbb{R}^3$'te $x^2 + y^2 + z^2 = 6z$ ve $z \leq 3$ koşullarını sağlayan noktalar kümesi olarak verilmiştir: $$\mathcal{F} := \{(x,y,z)^T \in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2=6z,\; z\leq 3\}$$ $\mathbf{F}$ ise aşağıdaki şekilde tanımlanan vektör alanıdır: $$\mathbf{F}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\quad \mathbf{F}(x,y,z)^T \mapsto (2xz+x^2e^y,\;-2xe^y,\;-z^2)^T$$ $$\iint_{\mathcal{F}} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\;d\sigma$$ Burada $\mathbf{n}$, $\mathcal{F}$ üzerindeki birim normal vektör alanıdır ve negatif $z$-bileşenine sahiptir.

📐 Bilinmesi Gereken Kural Diverjans Teoremi (Gauss Teoremi)

$V \subset \mathbb{R}^3$ hacmini sınırlayan kapalı yüzey $\partial V$ ve dışa bakan birim normaller için:

$$\unicode{x222F}_{\partial V} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}_{\text{dış}}\;d\sigma = \iiint_V \operatorname{div}\mathbf{F}\;dV$$

Kapalı olmayan yüzeylerde bu teoremi uygulamak için yüzeyi tamamlayıp kapattıktan sonra tamamlayıcı parçanın integralini çıkarırız.

💡 Strateji

$\operatorname{div}\mathbf{F}$ hesaplanırsa sıfır çıkar — bu Diverjans Teoremi'ni kullanmak için mükemmel bir işarettir. $\mathcal{F}$ yüzeyi kürenin alt yarısıdır; $z=3$ düzlemindeki disk $D$ ile birleşince kapalı yüzey elde edilir. Kapalı yüzey üzerindeki toplam akı sıfır olduğundan, $\mathcal{F}$ üzerindeki akı, disk $D$ üzerindeki akının eksi işaretlisi olarak bulunur. Disk integrali son derece kolaydır.

⚠ Normal Yön Dikkat

Soruda $\mathbf{n}$'nin negatif $z$-bileşenine sahip olduğu belirtilmiştir. Kürenin alt yarısında içe bakan normal (merkeze doğru) yukarıyı ($+z$) gösterir; dışa bakan normal ise aşağıyı ($-z$) gösterir. Dolayısıyla sorudaki $\mathbf{n}$, dışa bakan normaldir. Diverjans Teoremi'nde de dışa bakan normal kullanıldığından yön tutarlıdır.

ÇÖZÜM ADIMLARI

1 ADIM 1 — Yüzeyi Tanı: Küre Denklemi

$x^2 + y^2 + z^2 = 6z$ denklemini standart biçime getirelim:

$$x^2 + y^2 + z^2 - 6z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 + (z-3)^2 = 9$$

Bu, merkezi $(0,0,3)$ ve yarıçapı $R=3$ olan bir küredir.

$z \leq 3$ koşulu, kürenin merkez düzleminin alt kısmını — yani alt yarıküreyi — seçer. Alt yarıküre tam olarak $z=3$ düzlemine kadar uzanır.

$$\mathcal{F} = \text{Kürenin } z \leq 3 \text{ kısmı (alt yarıküre)}$$

2 ADIM 2 — Diverjansı Hesapla

$\mathbf{F} = (F_1, F_2, F_3) = (2xz + x^2e^y,\; -2xe^y,\; -z^2)$ için:

$$\frac{\partial F_1}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2xz + x^2e^y) = 2z + 2xe^y$$

$$\frac{\partial F_2}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-2xe^y) = -2xe^y$$

$$\frac{\partial F_3}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(-z^2) = -2z$$

Toplamı:

$$\operatorname{div}\mathbf{F} = (2z + 2xe^y) + (-2xe^y) + (-2z) = \mathbf{0}$$

Diverjans sıfır! Bu, Diverjans Teoremi'ni uygulamak için ideal koşuldur.

3 ADIM 3 — Kapalı Yüzey Oluştur ve Diverjans Teoremini Uygula

$\mathcal{F}$ kapalı değildir; $z=3$ düzlemindeki disk $D$ ile tamamlayalım:

$$D: \quad x^2 + y^2 \leq 9, \quad z = 3$$

Kapalı yüzey $\partial V = \mathcal{F} \cup D$, $V$ ise kürenin alt yarısını çevreleyen hacimdir. Dışa bakan normallerle Diverjans Teoremi:

$$\unicode{x222F}_{\partial V} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}_{\text{dış}}\;d\sigma = \iiint_V \operatorname{div}\mathbf{F}\;dV = \iiint_V 0\;dV = 0$$

Bu toplam iki parçaya ayrılır:

$$\underbrace{\iint_{\mathcal{F}} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}_{\mathcal{F}}\;d\sigma}_{\text{aradığımız}} + \iint_{D} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}_{D}\;d\sigma = 0$$

Buradan:

$$\iint_{\mathcal{F}} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\;d\sigma = -\iint_{D} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}_{D}\;d\sigma$$

4 ADIM 4 — Disk $D$ Üzerindeki Akıyı Hesapla

Disk $D$: $z=3$, $x^2+y^2\leq 9$. Kapalı yüzeyde $D$'nin dışa bakan normali yukarı yönünde: $\mathbf{n}_D = +\hat{k} = (0,0,1)^T$.

$z=3$ iken $\mathbf{F}$'nin $z$-bileşeni:

$$F_3\big|_{z=3} = -z^2\big|_{z=3} = -9$$

$\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}_D = (2xz+x^2e^y)(0) + (-2xe^y)(0) + (-9)(1) = -9$

$$\iint_D \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}_D\;d\sigma = \iint_D (-9)\;dA = -9 \cdot \text{Alan}(D) = -9 \cdot \pi R^2 = -9 \cdot 9\pi = -81\pi$$

5 ADIM 5 — Sonucu Birleştir

3. Adımdaki eşitliğe disk sonucunu koyalım:

$$\iint_{\mathcal{F}} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\;d\sigma = -\iint_D \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}_D\;d\sigma = -(-81\pi) = 81\pi$$

Normal yön kontrolü: Aradığımız normal $\mathcal{F}$ üzerinde negatif $z$-bileşenli (dışa bakan, aşağıya doğru) olmalıdır. Kürenin alt yarısında dışa bakan normal gerçekten aşağıyı gösterir — yön tutarlı. ✓

✓ Sonuç

$$\iint_{\mathcal{F}} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\;d\sigma = 81\pi$$

$\operatorname{div}\mathbf{F} = 0$ olduğundan Diverjans Teoremi ile kapalı yüzey integrali sıfırdır. Tamamlayıcı disk $D$ üzerindeki akı $-81\pi$ olup $\mathcal{F}$ üzerindeki akıyı $\mathbf{+81\pi}$ olarak belirler. ✓

Kürenin Alt Yarısı Üzerinde Akı (Fluks) İntegrali