BUders | Akı İntegrali — Üçgen Bölge Üzerinde Yüzey İntegrali Çözüm

SORU-8 Akı İntegrali (Fluks) Hesaplama — Üçgen Bölge

Aşağıdaki akı integralini hesaplayınız: $$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$$

▸ Vektör Alanı $\mathbf{F}$: $$\mathbf{F}(x,y,z) = 3x\,\mathbf{i} + 2z\,\mathbf{j} + (1-y^2)\,\mathbf{k}$$

▸ Yüzey $S$: $z = 2 - 3y + x^2$ yüzeyinin, $xy$-düzleminde köşeleri $(0,0)$, $(2,0)$ ve $(2,-4)$ olan üçgenin üzerinde kalan kısmıdır.

▸ Yönelim (Oryantasyon): Negatif $z$-ekseni yönündedir (aşağı bakan normal).

📐 Bilinmesi Gereken Kural $z = g(x,y)$ Şeklindeki Yüzeylerde Akı İntegrali

Yüzey $z = g(x,y)$ biçiminde verilmişse ve $D$ projeksiyon bölgesi ise:

$$\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_D \mathbf{F}(x,y,g(x,y))\cdot (-g_x,\,-g_y,\,1)\;dA \quad \text{(yukarı bakan normal)}$$

Aşağı bakan normal için bu ifadeye $-1$ çarpılır (ya da vektör $(-g_x,-g_y,1)$ yerine $(g_x,g_y,-1)$ kullanılır):

$$\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_D \mathbf{F}(x,y,g(x,y))\cdot (g_x,\,g_y,\,-1)\;dA \quad \text{(aşağı bakan normal)}$$

💡 Strateji

Yüzey $z = g(x,y) = 2 - 3y + x^2$ açıkça verilmiş olup parametrizasyon gerekmez. Aşağı bakan normal için $(g_x, g_y, -1)$ vektörünü kullanacağız. Projeksiyon bölgesi $D$ bir üçgendir; integral sınırlarını üçgenin kenar denklemlerinden belirleyip iç içe Riemann integrali hesaplayacağız.

⚠ Normal Yön Dikkat

Soruda yönelim negatif $z$-ekseni, yani aşağı bakan normal olarak belirtilmiştir. Bu nedenle $d\mathbf{S} = (g_x, g_y, -1)\,dA$ formülünü (eksi işaretli $z$-bileşenli) kullanacağız. Yukarı bakan normal ile başlayıp sonunda işaret değiştirmek de eşdeğerdir; ancak doğrudan aşağı yönde başlamak daha temizdir.

ÇÖZÜM ADIMLARI

1 ADIM 1 — Kısmi Türevleri Hesapla ve Normal Vektörü Belirle

Yüzey fonksiyonu: $g(x,y) = 2 - 3y + x^2$

$$g_x = \frac{\partial g}{\partial x} = 2x, \qquad g_y = \frac{\partial g}{\partial y} = -3$$

Aşağı bakan normal için yüzey elemanı vektörü:

$$d\mathbf{S} = (g_x,\; g_y,\; -1)\,dA = (2x,\; -3,\; -1)\,dA$$

2 ADIM 2 — $\mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$ Nokta Çarpımını Hesapla

$\mathbf{F} = (3x,\; 2z,\; 1-y^2)$ ve $d\mathbf{S} = (2x,\; -3,\; -1)\,dA$:

$$\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = 3x\cdot(2x) + 2z\cdot(-3) + (1-y^2)\cdot(-1)$$

$$= 6x^2 - 6z - 1 + y^2$$

$z = g(x,y) = 2 - 3y + x^2$ yerine koyalım:

$$= 6x^2 - 6(2 - 3y + x^2) - 1 + y^2$$

$$= 6x^2 - 12 + 18y - 6x^2 - 1 + y^2$$

$$\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \bigl(y^2 + 18y - 13\bigr)\,dA$$

$x$ terimleri sıfırlandı — bu iç integral hesabını önemli ölçüde kolaylaştırır!

3 ADIM 3 — Üçgen Bölge $D$'yi Tanımla ve Sınırları Belirle

$D$, $xy$-düzleminde köşeleri $(0,0)$, $(2,0)$ ve $(2,-4)$ olan üçgendir.

Üçgenin kenarlarını belirleyelim:

$(0,0)$ ile $(2,-4)$ arasındaki kenar: eğim $= \frac{-4-0}{2-0} = -2$, dolayısıyla $y = -2x$

$(0,0)$ ile $(2,0)$: $y = 0$ (x-ekseni)

$(2,0)$ ile $(2,-4)$: $x = 2$ (dikey kenar)

$x$: $0$'dan $2$'ye gider. Her $x$ için $y$: $-2x$'ten $0$'a gider:

$$D: \quad 0 \leq x \leq 2, \quad -2x \leq y \leq 0$$

4 ADIM 4 — İç İntegrali Hesapla ($y$'ye göre)

İntegral:

$$\iint_D (y^2 + 18y - 13)\;dA = \int_0^2 \int_{-2x}^{0} (y^2 + 18y - 13)\;dy\;dx$$

İç integral (sabit $x$ için $y$'ye göre):

$$\int_{-2x}^{0}(y^2 + 18y - 13)\;dy = \left[\frac{y^3}{3} + 9y^2 - 13y\right]_{y=-2x}^{y=0}$$

$y = 0$'da değer: $0$

$y = -2x$'te değer:

$$\frac{(-2x)^3}{3} + 9(-2x)^2 - 13(-2x) = \frac{-8x^3}{3} + 36x^2 + 26x$$

Fark (üst $-$ alt):

$$0 - \left(\frac{-8x^3}{3} + 36x^2 + 26x\right) = \frac{8x^3}{3} - 36x^2 - 26x$$

5 ADIM 5 — Dış İntegrali Hesapla ($x$'e göre)

$x = 0$'dan $2$'ye:

$$\int_0^2 \left(\frac{8x^3}{3} - 36x^2 - 26x\right)dx = \left[\frac{8x^4}{4\cdot 3} - \frac{36x^3}{3} - \frac{26x^2}{2}\right]_0^2$$

$$= \left[\frac{2x^4}{3} - 12x^3 - 13x^2\right]_0^2$$

$x=2$'de değer:

$$\frac{2 \cdot 16}{3} - 12 \cdot 8 - 13 \cdot 4 = \frac{32}{3} - 96 - 52$$

$$= \frac{32}{3} - 148 = \frac{32 - 444}{3} = -\frac{412}{3}$$

$x=0$'da değer: $0$

6 ADIM 6 — Sonucu Yaz

Tüm adımları birleştirirsek:

$$\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \int_0^2\int_{-2x}^{0}(y^2+18y-13)\;dy\;dx = -\frac{412}{3}$$

Yön kontrolü: Aşağı bakan normal için $(g_x, g_y, -1) = (2x, -3, -1)$ doğrudan kullanıldı; ayrıca işaret düzeltmesi gerekmedi. ✓

✓ Sonuç

$$\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = -\dfrac{412}{3}$$

Aşağı bakan normal $(2x,-3,-1)$ ile alınan nokta çarpım $y^2+18y-13$'e basitleşti. Üçgen bölge üzerindeki iç içe integral adım adım hesaplanarak sonuç $-\dfrac{412}{3}$ olarak bulundu.

Üçgen Bölge Üzerinde Akı (Fluks) İntegrali