SORU-9
Akı İntegrali (Fluks) Hesaplama — Paraboloid
Aşağıdaki akı integralini hesaplayınız:
$$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$$
▸
Vektör Alanı $\mathbf{F}$:
$$\mathbf{F}(x,y,z) = -x\,\mathbf{i} + 2y\,\mathbf{j} - z\,\mathbf{k}$$
▸
Yüzey $S$: $y = 3x^2 + 3z^2$ yüzeyinin, $y = 6$ düzleminin arkasında ($y \leq 6$) kalan kısmıdır.
▸
Yönelim (Oryantasyon): Pozitif $y$-ekseni yönündedir (öne bakan normal).
📐 Bilinmesi Gereken Kural
$y = g(x,z)$ Biçimindeki Yüzeylerde Akı İntegrali
Yüzey $y = g(x,z)$ şeklinde verilmişse ve $D$ projeksiyon bölgesi $xz$-düzlemindeyse:
$$\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_D \mathbf{F}(x,\,g(x,z),\,z)\cdot (-g_x,\;1,\;-g_z)\;dA \quad\text{(pozitif }y\text{ yönü)}$$
Negatif $y$ yönü için $(−g_x, 1, −g_z)$ yerine $(g_x, -1, g_z)$ kullanılır. Burada $dA = dx\,dz$ projeksiyon elemanıdır.
💡 Strateji
Yüzey $y = 3x^2 + 3z^2 = 3(x^2+z^2)$ bir paraboloiddir ve $y = 6$ düzlemiyle kesilince projeksiyon bölgesi $D$: $x^2 + z^2 \leq 2$ — yani $xz$-düzleminde yarıçapı $\sqrt{2}$ olan bir disk. Nokta çarpımını hesaplayıp $y$ yerine koyduğumuzda $x$ ve $z$ terimleri birleşip simetrik bir ifade çıkar; bu ifade polar koordinatlarda çok kolay hesaplanır.
⚠ y-yönü için Normal Dikkat
Standart formüllerde z = g(x,y) ve projeksiyon xy-düzlemine yapılır. Burada yüzey y = g(x,z) biçimindedir; projeksiyon xz-düzlemine yapılır ve normal vektör bileşen sırası değişir: $(-g_x, 1, -g_z)$. Pozitif $y$ yönü bu formülle doğrudan elde edilir — ek işaret düzeltmesi gerekmez.
ÇÖZÜM ADIMLARI
1
ADIM 1 — Yüzeyi Tanı ve Projeksiyon Bölgesini Belirle
Yüzey $y = 3x^2 + 3z^2 = 3(x^2+z^2)$, orijini tepe noktası olan ve $y$-ekseninde açılan bir dönel paraboloiddir.
$y = 6$ koşulunu yüzey denklemine koyalım:
$$3x^2 + 3z^2 = 6 \;\Longrightarrow\; x^2 + z^2 = 2$$
Yani yüzey, $y=6$ düzlemiyle $xz$-düzleminde $\sqrt{2}$ yarıçaplı bir daire boyunca kesilmektedir. Projeksiyon bölgesi:
$$D:\; x^2 + z^2 \leq 2 \quad (xz\text{-düzleminde disk})$$
Paraboloid $y = 3(x^2+z^2)$ ve $y=6$ ile kesim diski · Pozitif $y$ normal yönü
2
ADIM 2 — Kısmi Türevleri Hesapla ve Normal Vektörü Yaz
$g(x,z) = 3x^2 + 3z^2$ için:
$$g_x = \frac{\partial g}{\partial x} = 6x, \qquad g_z = \frac{\partial g}{\partial z} = 6z$$
Pozitif $y$-yönü için yüzey elemanı vektörü:
$$d\mathbf{S} = (-g_x,\; 1,\; -g_z)\,dA = (-6x,\; 1,\; -6z)\,dA$$
3
ADIM 3 — $\mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$ Nokta Çarpımını Hesapla
$\mathbf{F} = (-x,\; 2y,\; -z)$ ve $d\mathbf{S} = (-6x, 1, -6z)\,dA$:
$$\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = (-x)(-6x) + (2y)(1) + (-z)(-6z)$$
$$= 6x^2 + 2y + 6z^2$$
$y = g(x,z) = 3x^2 + 3z^2$ yerine koyalım:
$$= 6x^2 + 2(3x^2 + 3z^2) + 6z^2$$
$$= 6x^2 + 6x^2 + 6z^2 + 6z^2$$
$$\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = 12(x^2 + z^2)\,dA$$
İfade yalnızca $r^2 = x^2+z^2$'ye bağlı — polar koordinatlar için mükemmel!
4
ADIM 4 — Polar Koordinatlara Geç
$D: x^2+z^2 \leq 2$ diskinde polar dönüşüm ($xz$-düzleminde):
$$x = r\cos\theta, \quad z = r\sin\theta, \quad dA = r\,dr\,d\theta$$
$$0 \leq r \leq \sqrt{2}, \qquad 0 \leq \theta \leq 2\pi$$
İntegral:
$$\iint_D 12(x^2+z^2)\,dA = \int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{2}} 12\,r^2 \cdot r\;dr\;d\theta = \int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{2}} 12r^3\;dr\;d\theta$$
5
ADIM 5 — İntegrali Hesapla
İntegrali iç içe ayıralım (integrand $\theta$'ya bağlı olmadığından):
$$= 12\int_0^{2\pi}d\theta \;\cdot\; \int_0^{\sqrt{2}} r^3\;dr$$
$\theta$ integrali:
$$\int_0^{2\pi}d\theta = 2\pi$$
$r$ integrali:
$$\int_0^{\sqrt{2}} r^3\;dr = \left[\frac{r^4}{4}\right]_0^{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^4}{4} = \frac{4}{4} = 1$$
Birleştirelim:
$$12 \cdot 2\pi \cdot 1 = 24\pi$$
✓ Sonuç
$$\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = 24\pi$$
$y = 3(x^2+z^2)$ paraboloidinde pozitif $y$-yönü normali $(-6x, 1, -6z)$ ile alınan nokta çarpım $12(x^2+z^2)$'ye basitleşti. $xz$-düzlemindeki disk $D: x^2+z^2\leq 2$ üzerindeki polar integral $12 \cdot 2\pi \cdot 1 = 24\pi$ sonucunu verdi. ✓