Ön Bilgiler – Faz Portreleri

Faz portreleri ve denge noktaları konusuna geçmeden önce, birinci mertebe diferansiyel denklemleri ve vektör alanları hakkındaki temel bilgileri tazelemek gerekir. Bu modül, sonraki tüm konuların matematiksel altyapısını oluşturur.

1. Birinci Mertebe ODE Tekrarı

Tek bir bağımlı değişken içeren birinci mertebe adi diferansiyel denklem şu biçimdedir:

$$ \frac{dx}{dt} = f(x, t) $$ $x$: bağımlı değişken, $t$: bağımsız değişken (genellikle zaman)

Bu denklemin çözümü, $x(t)$ fonksiyonudur; yani zamana bağlı bir yörüngedir. Faz analizi için ise otonom sistemler özellikle önemlidir: sağ taraf açıkça $t$'ye bağlı değildir.

\frac{dx}{dt} = f(x) \quad \text{(otonom)} \qquad \frac{dx}{dt} = f(x, t) \quad \text{(otonom değil)}

💡 Neden Otonom Sistemler?

Faz portreleri yalnızca otonom sistemlerde anlamlıdır; çünkü yörüngeler zamandan bağımsız olarak çizilebilir. Otonom olmayan sistemlerde aynı noktadan geçen iki yörünge farklı eğimlere sahip olabilir.

2. İki Boyutlu Otonom Sistem

Bu dersin odağı, iki bağımlı değişken içeren birinci mertebe otonom diferansiyel denklem sistemidir:

$$ \begin{cases} \dfrac{dx}{dt} = f(x,\, y) \\[10pt] \dfrac{dy}{dt} = g(x,\, y) \end{cases} $$ $f$ ve $g$: sürekli ve türevlenebilir fonksiyonlar, $(x, y)$: durum değişkenleri

Bu sistemi vektör notasyonuyla daha kompakt yazabiliriz. $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ ve $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} f(x,y) \\ g(x,y) \end{pmatrix}$ tanımlanırsa:

$$ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{F}(\mathbf{x}) $$ Kısa ve öz vektör formu — lineer olmayan sistemler dahil tümünü kapsar

3. Vektör Alanı Nedir?

$xy$-düzleminin her $(x, y)$ noktasında, sistem bize bir hız vektörü verir: $(f(x,y),\; g(x,y))$. Bu vektörlerin tamamı vektör alanını oluşturur. Vektör alanı, bir sistemin herhangi bir noktadan nasıl hareket edeceğini gösterir.

Örnek 1 Basit Bir Vektör Alanı

Sistem $\dot{x} = y$, $\dot{y} = -x$ olsun. $(1, 0)$ noktasındaki vektör: $f(1,0) = 0$, $g(1,0) = -1$ → vektör $(0, -1)$, yani aşağı yönde. $(0, 1)$ noktasındaki vektör: $f(0,1) = 1$, $g(0,1) = 0$ → vektör $(1, 0)$, yani sağ yönde. Bu sistem dairesel yörüngeler oluşturur (merkez tipi).

\dot{x} = y, \quad \dot{y} = -x \quad \Longrightarrow \quad \text{çözüm: } x(t) = A\cos t,\; y(t) = -A\sin t

4. Çözüm Eğrisi ile Yörünge Arasındaki Fark

Kavram	Tanım	Boyut	Zaman bilgisi
Çözüm eğrisi	$x(t)$ ve $y(t)$'nin zamana karşı grafiği	$t$-$x$ veya $t$-$y$ düzlemi	Var — $t$ ekseni açık
Yörünge (orbit)	$(x(t), y(t))$'nin $xy$-düzlemindeki izi	Faz düzlemi ($xy$)	Yok — sadece yön oku gösterilir
Faz portresi	Birçok yörüngenin aynı anda gösterilmesi	Faz düzlemi ($xy$)	Yok — global davranış görülür

📌 Önemli Ayrım

Bir yörünge üzerindeki ok yönü, zamanın ilerleyişini gösterir. $t \to \infty$ iken yörüngenin nereye gittiği, sistemin uzun vadeli davranışını (kararlılık) belirler.

5. İkinci Mertebe ODE → Sistem Dönüşümü

Pratikte sıkça karşılaşılan ikinci mertebe denklemler, bir değişken ikamesiyle iki boyutlu birinci mertebe sisteme dönüştürülür. Bu, faz analizi için standart yaklaşımdır.

İkinci mertebe denklemi yaz

Örnek: $\ddot{x} + bx + cx = 0$ (sönümlü harmonik osilatör)

Yeni değişken tanımla

$y = \dot{x}$ (yani hız) olarak tanımla

Sistemi yaz

$\dot{x} = y$ ve $\dot{y} = \ddot{x} = -bx - cy$

Faz düzlemi analizi yap

Artık standart $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{F}(\mathbf{x})$ formundadır

Örnek 2 Sarkaç Denklemi

Sürtünmesiz sarkaç denklemi: $\ddot{\theta} + \dfrac{g}{L}\sin\theta = 0$

$\omega = \dot{\theta}$ (açısal hız) tanımlanırsa:

$ \begin{cases} \dot{\theta} = \omega \\[6pt] \dot{\omega} = -\dfrac{g}{L}\sin\theta \end{cases} $$ Bu lineer olmayan sistemin faz düzleminde birden fazla denge noktası vardır: $(\theta, \omega) = (n\pi, 0)

$\theta = 0$ (alt denge) kararlı bir merkez, $\theta = \pi$ (üst denge) ise kararsız bir eyer noktasıdır. İlerideki modüllerde bu sistemi detaylıca inceleyeceğiz.

6. Varoluş ve Teklik Teoremi

Herhangi bir başlangıç koşulu $(x_0, y_0)$ için çözümün var olup olmadığını ve tekil olup olmadığını Picard-Lindelöf teoremi güvence altına alır:

📐 Teorem (Varoluş ve Teklik)

$f$ ve $g$ fonksiyonları $(x_0, y_0)$ çevresinde sürekli ve Lipschitz koşulunu sağlıyorsa, başlangıç koşulu $(x(t_0), y(t_0)) = (x_0, y_0)$ ile sistemin tek bir çözümü vardır.

Önemli sonuç: İki farklı yörünge hiçbir zaman kesişmez (denge noktaları hariç).

7. Bu Derste Kullanılacak Notasyon

Notasyon	Anlamı
$\dot{x}$	$\dfrac{dx}{dt}$ — zamana göre türev
$\mathbf{x}$	Durum vektörü $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
$\mathbf{F}(\mathbf{x})$	Vektör alanı $\begin{pmatrix}f(x,y)\\g(x,y)\end{pmatrix}$
$A$	Sistem matrisi (lineer sistemlerde $\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}$)
$J$	Jacobian matrisi (lineer olmayan sistemlerin linearizasyonu için)
$\lambda$	Özdeğer (eigenvalue)
$\mathbf{v}$	Özvektör (eigenvector)
$(x^, y^)$	Denge (kritik) noktası

✅ Bu Modülden Sonra

Artık iki boyutlu otonom sistemleri tanıyabilir, vektör alanını yorumlayabilir ve ikinci mertebe denklemleri sisteme dönüştürebilirsiniz. Bir sonraki modülde denge noktalarını analitik olarak bulmayı öğreniyoruz.

← Modül Listesi 01 — Denge Noktaları →