Bir diferansiyel denklem sisteminin denge noktası (veya kritik nokta), sistemin hiçbir hareketinin olmadığı
noktadır. Başka bir deyişle, eğer sistem bu noktadan başlarsa, sonsuza kadar orada kalır.
Denge noktaları, faz portresinin en önemli yapı taşlarıdır; çünkü yörüngelerin davranışı
çoğunlukla bu noktalar etrafında şekillenir.
1. Tanım ve Matematiksel Koşul
$ \dot{x} = f(x, y) $ ve $ \dot{y} = g(x, y) $ sistemini ele alalım.
Bir $(x^*, y^*)$ noktasının denge noktası olması için gerek ve yeter koşul:
$$ f(x^*, y^*) = 0 \quad \text{ve} \quad g(x^*, y^*) = 0 $$
Her iki hız bileşeni de sıfır — vektör alanı bu noktada kaybolur
📌 Fiziksel Yorum
Denge noktasında $x$ ve $y$ değişkenlerinin
zamanla değişim hızı sıfırdır.
Sistem bu noktada "durgun" haldedir. Mekanikte denge noktaları, net kuvvetin sıfır olduğu konumlara karşılık gelir.
2. Denge Noktalarını Bulma Yöntemi
1
Denklem sistemini yaz
$f(x,y) = 0$ ve $g(x,y) = 0$ denklemlerini oluştur.
2
Denklemleri çöz
Genellikle bir denklemden bir değişkeni çekip diğerinde yerine koyarak çözülür.
3
Tüm (x, y) çiftlerini bul
Lineer sistemlerde genellikle tek bir denge (orijin) varken, lineer olmayan sistemlerde birden fazla denge noktası olabilir.
4
Kontrol et
Bulunan noktaların her ikisini de sağladığından emin ol.
3. Örnek 1 – Lineer Sistem
Sistem:
$$
\begin{cases}
\dot{x} = 2x - 3y \\[6pt]
\dot{y} = x - 2y
\end{cases}
$$
Çözüm: Denge koşulları:
$$
\begin{cases}
2x - 3y = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x = 3y \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2}y \\[6pt]
x - 2y = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2y
\end{cases}
$$
İki denklemi birleştirirsek: $\frac{3}{2}y = 2y \Rightarrow \frac{3}{2}y - 2y = 0 \Rightarrow -\frac{1}{2}y = 0 \Rightarrow y = 0$.
$y = 0$ ise $x = 0$ olur.
✅ Sonuç
Tek denge noktası: $(0, 0)$ (orijin). Homojen lineer sistemlerde orijin her zaman bir denge noktasıdır.
4. Örnek 2 – Lineer Olmayan Sistem (Lotka-Volterra Av-Avcı Modeli)
Bu klasik modelde $x(t)$ av sayısını (tavşan), $y(t)$ ise avcı sayısını (tilki) temsil eder.
Sistem şu şekildedir:
$$
\begin{cases}
\dot{x} = \alpha x - \beta x y \\[8pt]
\dot{y} = -\gamma y + \delta x y
\end{cases}
\qquad (\alpha, \beta, \gamma, \delta > 0)
$$
$\alpha = 1$, $\beta = 0.5$, $\gamma = 0.75$, $\delta = 0.25$ alalım:
$$
\begin{cases}
\dot{x} = x(1 - 0.5y) \\[6pt]
\dot{y} = y(-0.75 + 0.25x)
\end{cases}
$$
Denge koşulları:
$$
\begin{cases}
x(1 - 0.5y) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \ \text{veya} \ y = 2 \\[6pt]
y(-0.75 + 0.25x) = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 0 \ \text{veya} \ x = 3
\end{cases}
$$
Şimdi durumları birleştirelim:
- $x = 0$ ve $y = 0$ → $(0, 0)$ (her iki tür de yok)
- $x = 0$ ve $x = 3$ → çelişki (geçersiz)
- $y = 2$ ve $y = 0$ → çelişki (geçersiz)
- $y = 2$ ve $x = 3$ → $(3, 2)$ (her iki türün birlikte yaşadığı denge)
Ayrıca $y = 0$ durumunda ikinci denklem otomatik sağlanır. $y = 0$ iken ilk denklem $x \cdot 1 = 0 \Rightarrow x = 0$ verir. $(0,0)$ zaten var.
Denge noktaları: $(0, 0)$ ve $(3, 2)$.
🐺 Biyolojik Yorum
$(0,0)$: her iki türün de yok olduğu önemsiz denge.
$(3, 2)$: av sayısı 3, avcı sayısı 2 iken sistem dengededir. Bu nokta etrafında salınımlar (döngüsel davranış) görülür.
5. Örnek 3 – Birden Fazla Denge (Sarkaç)
Sürtünmesiz sarkaç denklemini hatırlayalım ($\theta$: açı, $\omega$: açısal hız):
$$
\begin{cases}
\dot{\theta} = \omega \\[6pt]
\dot{\omega} = -\frac{g}{L}\sin\theta
\end{cases}
$$
Denge koşulları:
$$
\begin{cases}
\omega = 0 \\[6pt]
-\frac{g}{L}\sin\theta = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin\theta = 0 \quad \Rightarrow \quad \theta = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}
\end{cases}
$$
Tüm denge noktaları: $(\theta, \omega) = (n\pi, 0)$.
- $n$ çift ($0, \pm 2\pi, \dots$): alt denge (kararlı — sarkaç aşağıda duruyor)
- $n$ tek ($\pm \pi, \pm 3\pi, \dots$): üst denge (kararsız — sarkaç tam tepede, küçük bir itme ile devrilir)
📐 Gözlem
Aynı fiziksel sistemin farklı denge noktaları vardır ve bunların
kararlılık özellikleri farklıdır.
Kararlılık analizini Modül 03 ve 04'te yapacağız.
6. Geometrik Yorum
Denge noktaları, vektör alanının sıfır olduğu noktalardır. Faz düzleminde bu noktalara
yaklaşan veya uzaklaşan yörüngeler, sistemin dinamiklerini belirler.
| Denge tipi | Vektör alanı davranışı | Faz portresi görünümü |
|---|
| Düğüm (node) | Tüm yörüngeler dengeye doğru (ya da dengekten uzaklaşarak) radyal olarak yaklaşır | İçe/dışa doğru eğriler |
| Eyer (saddle) | Bazı yönlerden yaklaşır, bazı yönlerden uzaklaşır | Hiperbolik şekil |
| Merkez (center) | Yörüngeler kapalı eğriler çizer, denge noktası etrafında döner | Elips/dairesel yörüngeler |
| Sarmal (spiral) | Yörüngeler denge etrafında dönerek yaklaşır/uzaklaşır | Sarmal eğriler |
7. Özet Tablo – Hızlı Başvuru
| Sistem Türü | Denge Noktası Bulma | Örnek | Denge Sayısı |
|---|
| Lineer homojen $\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x}$ |
$A\mathbf{x} = 0$ → genelde tek çözüm $\mathbf{x}=0$ |
$\dot{x}=y,\ \dot{y}=-x$ |
1 (orijin) |
| Lineer homojen olmayan $\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + \mathbf{b}$ |
$A\mathbf{x} + \mathbf{b} = 0$ → bir tane (det A ≠ 0 ise) |
$\dot{x}=2x+1,\ \dot{y}=x-y$ |
1 |
| Lineer olmayan |
$f(x,y)=0,\ g(x,y)=0$ çözümü |
Lotka-Volterra, sarkaç |
Birden fazla (sonsuz bile olabilir) |
✅ Bu Modülden Sonra
Artık herhangi bir otonom sistemin denge noktalarını bulabilirsiniz.
Bir sonraki modülde bu denge noktalarının etrafındaki davranışı anlamak için
lineer sistemleri ve özdeğerleri inceleyeceğiz.