Denge noktalarını bulmayı öğrendik. Şimdi bu denge noktalarının etrafındaki davranışı anlamak için
lineer sistemlere ve özdeğerlere ihtiyacımız var. Lineer sistemler aynı zamanda lineer olmayan sistemlerin
linearizasyonu için temel araçtır.
1. Lineer Sistemlerin Matris Formu
İki boyutlu bir lineer diferansiyel denklem sistemi şu şekilde yazılır:
$$
\begin{cases}
\dot{x} = ax + by \\[4pt]
\dot{y} = cx + dy
\end{cases}
\quad \Longleftrightarrow \quad
\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x}, \quad
A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad
\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
$$
$A$: sistem matrisi (sabit katsayılı lineer sistemler)
📌 Önemli
Homojen lineer sistemlerde
orijin $(0,0)$ her zaman bir denge noktasıdır, çünkü $A \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0}$.
2. Jacobian Matrisi
Lineer olmayan bir sistemin bir denge noktası civarındaki davranışını incelemek için sistemi lineerleştiririz.
Bunun için Jacobian matrisini kullanırız.
$$
\dot{x} = f(x,y), \quad \dot{y} = g(x,y) \quad \text{sistemi için}
$$
$$
J(x,y) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial f}{\partial x} & \dfrac{\partial f}{\partial y} \\[10pt]
\dfrac{\partial g}{\partial x} & \dfrac{\partial g}{\partial y}
\end{pmatrix}
$$
Jacobian matrisi, sistemin türevlerinden oluşur
Bir $(x^*, y^*)$ denge noktasında Jacobian $J(x^*, y^*)$ hesaplanır ve lineer sistem $\dot{\mathbf{u}} = J(x^*,y^*) \cdot \mathbf{u}$ elde edilir.
Burada $\mathbf{u} = \begin{pmatrix} x - x^* \\ y - y^* \end{pmatrix}$ (denge noktasına göre küçük sapma).
💡 Neden Jacobian?
Jacobian'ın özdeğerleri, denge noktasının
kararlılığını ve etrafındaki yörüngelerin tipini belirler.
Bu, lineer olmayan sistemleri anlamanın en güçlü yöntemidir.
3. Özdeğer ve Özvektör Nedir?
Bir $A$ matrisinin özdeğeri $\lambda$ ve özvektörü $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$,
aşağıdaki denklemi sağlar:
$$ A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $$
Matris bir vektörü kendisinin bir katına dönüştürür
Bu denklemi yeniden düzenlersek:
$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 $$
$\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ olması için $(A - \lambda I)$ matrisinin singular (tersi alınamaz) olması gerekir.
Bu da determinantının sıfır olması demektir.
4. Karakteristik Denklem
$$ \det(A - \lambda I) = 0 $$
Karakteristik denklem — özdeğerleri bulmak için çözülür
$2 \times 2$ matris için ($A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$):
$$
\det\begin{pmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \end{pmatrix} = (a-\lambda)(d-\lambda) - bc = 0
$$
$$
\lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad - bc) = 0
$$
$\text{iz}(A) = a+d$, $\det(A) = ad-bc$
Karakteristik denklem ikinci dereceden olduğu için iki özdeğer bulunur: $\lambda_1$ ve $\lambda_2$.
Bu özdeğerler:
- Reel ve farklı
- Reel ve eşit (çakışık)
- Karmaşık eşlenik ($\alpha \pm i\beta$)
olabilir. Her durum farklı bir faz portresi tipine karşılık gelir.
5. Örnek 1 – Adım Adım Özdeğer Hesabı
Adım 1: Karakteristik denklemi yaz
$$ \det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = 0 $$
Adım 2: Denklemi çöz
$$ (2-\lambda)^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad 2-\lambda = \pm 1 $$
$$ \lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 3 $$
Adım 3: Özvektörleri bul
$\lambda_1 = 1$ için: $(A - 1I)\mathbf{v} = 0$
$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad v_1 + v_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$
$\lambda_2 = 3$ için: $(A - 3I)\mathbf{v} = 0$
$$ \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad -v_1 + v_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
✅ Sonuç
Özdeğerler: $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 3$ (ikisi de pozitif reel, farklı). Bu bir
düğüm (node) tipidir ve kararsızdır.
6. Örnek 2 – Karmaşık Özdeğerler
Karakteristik denklem:
$$ \det\begin{pmatrix} -\lambda & -1 \\ 1 & -\lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 + 1 = 0 $$
$$ \lambda^2 = -1 \quad \Rightarrow \quad \lambda = \pm i $$
Özdeğerler saf sanal ($\alpha = 0$, $\beta = 1$). Bu durumda denge noktası merkez (center) tipindedir.
Yörüngeler elips şeklinde kapalı eğrilerdir.
📐 Karmaşık Özdeğerlerde Genel Form
$\lambda = \alpha \pm i\beta$ ise çözümler sarmal (spiral) şeklindedir. $\alpha < 0$: kararlı sarmal, $\alpha > 0$: kararsız sarmal, $\alpha = 0$: merkez.
7. Örnek 3 – Lineer Olmayan Sistemin Jacobian ile Linearizasyonu
Sistemi hatırlayalım:
$$
\begin{cases}
\dot{x} = x(1 - 0.5y) \\[6pt]
\dot{y} = y(-0.75 + 0.25x)
\end{cases}
$$
Jacobian matrisi:
$$
f(x,y) = x - 0.5xy \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial x} = 1 - 0.5y, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -0.5x
$$
$$
g(x,y) = -0.75y + 0.25xy \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial g}{\partial x} = 0.25y, \quad \frac{\partial g}{\partial y} = -0.75 + 0.25x
$$
$$
J(x,y) = \begin{pmatrix} 1 - 0.5y & -0.5x \\ 0.25y & -0.75 + 0.25x \end{pmatrix}
$$
Denge noktası $(3, 2)$'de Jacobian:
$$
J(3,2) = \begin{pmatrix} 1 - 0.5(2) & -0.5(3) \\ 0.25(2) & -0.75 + 0.25(3) \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 0 & -1.5 \\ 0.5 & 0 \end{pmatrix}
$$
Karakteristik denklem:
$$ \det\begin{pmatrix} -\lambda & -1.5 \\ 0.5 & -\lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 + 0.75 = 0 $$
$$ \lambda = \pm i\sqrt{0.75} = \pm 0.866i $$
🐺 Sonuç
Özdeğerler saf sanal → $(3,2)$ denge noktası
merkez tipindedir. Av ve avcı popülasyonları bu nokta etrafında salınır (döngüsel davranış).
8. Özet Tablo – $2\times2$ Matris İçin Karakteristik Denklem
| Matris | iz(A) | det(A) | Karakteristik Denklem |
|---|
| $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ |
$a+d$ |
$ad-bc$ |
$\lambda^2 - \text{iz}\,\lambda + \det = 0$ |
| $\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$ (diyagonal) |
$\lambda_1+\lambda_2$ |
$\lambda_1\lambda_2$ |
$(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)=0$ |
| $\begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha \end{pmatrix}$ (karmaşık) |
$2\alpha$ |
$\alpha^2+\beta^2$ |
$\lambda^2 - 2\alpha\lambda + (\alpha^2+\beta^2)=0$ |
✅ Bu Modülden Sonra
Artık bir sistem matrisinin özdeğerlerini hesaplayabilir ve Jacobian ile lineer olmayan sistemleri
lineerleştirebilirsiniz. Bir sonraki modülde
özdeğerlere göre denge noktası sınıflandırmasını
tam tablo ile öğreneceğiz.