Bir denge noktasının etrafındaki yörüngelerin davranışı, sistem matrisinin (veya Jacobian'ın) özdeğerleri tarafından belirlenir. Bu modülde, her özdeğer durumuna karşılık gelen denge tipini, faz portresindeki görünümünü ve kararlılık durumunu tek tablo halinde öğreneceğiz.
| Özdeğerler | Denge Tipi | Kararlılık | Faz Portresi Özeti |
|---|---|---|---|
| $\lambda_1 < \lambda_2 < 0$ | Kararlı Düğüm | Asimptotik Kararlı | İçe doğru radyal eğriler |
| $0 < \lambda_1 < \lambda_2$ | Kararsız Düğüm | Kararsız | Dışa doğru radyal eğriler |
| $\lambda_1 < 0 < \lambda_2$ | Eyer Noktası | Kararsız | Hiperbolik şekil (çekici/itici yönler) |
| $\lambda_1 = \lambda_2 < 0$ | Kararlı Yıldız/Düğüm | Asimptotik Kararlı | Radyal içe (tüm yönlerden) |
| $\lambda_1 = \lambda_2 > 0$ | Kararsız Yıldız/Düğüm | Kararsız | Radyal dışa (tüm yönlerden) |
| $\lambda = \alpha \pm i\beta$, $\alpha < 0$ | Kararlı Sarmal | Asimptotik Kararlı | İçe dönen sarmal |
| $\lambda = \alpha \pm i\beta$, $\alpha > 0$ | Kararsız Sarmal | Kararsız | Dışa dönen sarmal |
| $\lambda = \pm i\beta$ (saf sanal) | Merkez | Kararlı (Lyapunov) | Kapalı eğriler (elips/daire) |
| $\lambda_1 = 0$, $\lambda_2 \neq 0$ | Dejenere | — | Doğru boyunca denge noktaları |
Özdeğerler: $\lambda_1 = -1$, $\lambda_2 = -2$ (ikisi de negatif → asimptotik kararlı).
Çözüm: $x(t) = x_0 e^{-t}$, $y(t) = y_0 e^{-2t}$.
$t \to \infty$ iken $(x,y) \to (0,0)$. Orijin çekici (attractor) bir noktadır.
Özdeğerler: $\lambda_1 = 2$, $\lambda_2 = 3$ (ikisi de pozitif → kararsız).
$t \to \infty$ iken orijinden uzaklaşır. Orijin itici (repeller) bir noktadır.
Özdeğerler: $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = -1$ (zıt işaretli → kararsız).
$\lambda = -1 \pm i$ → $\alpha = -1 < 0$ → asimptotik kararlı. Yörüngeler orijine doğru dönerek yaklaşır.
$\lambda = 1 \pm i$ → $\alpha = 1 > 0$ → kararsız. Yörüngeler orijinden uzaklaşarak döner.
Özdeğerler: $\lambda = \pm i$ (saf sanal → Lyapunov kararlı).
Yörüngeler kapalı eğrilerdir (elips). Başlangıç koşuluna yakın başlayan yörüngeler yakın kalır, ancak çekici değildir.
Özdeğer yönteminin çalışmadığı durumlarda (sıfır reel kısım), Lyapunov fonksiyonu kullanılır. Enerji benzeri bir $V(x,y)$ fonksiyonu bulunur: $V(x^*,y^*)=0$, $V>0$ civarda ve $\dot{V} < 0$ ise sistem asimptotik kararlıdır.
Sistem: $\dot{x} = -x^3$, $\dot{y} = -y^3$. Denge: $(0,0)$.
Seçelim: $V(x,y) = \frac{1}{2}(x^2 + y^2)$
$\dot{V} < 0$ → asimptotik kararlı. Özdeğer yöntemi burada (Jacobian sıfır olduğu için) çalışmazdı.
| Jacobian Özdeğerleri | Lineer Sistem Kararlılığı | Lineer Olmayan Sistem Kararlılığı |
|---|---|---|
| Tüm $\text{Re}(\lambda_i) < 0$ | Asimptotik kararlı | Asimptotik kararlı |
| Bir $\text{Re}(\lambda_i) > 0$ | Kararsız | Kararsız |
| $\text{Re}(\lambda_i) \le 0$ ve sıfır var | Kararlı (sınırda) | Belirsiz — Lyapunov gerekir |