Faz portresi, bir diferansiyel denklem sisteminin tüm olası yörüngelerinin faz düzleminde gösterimidir.
Bu modülde, elle faz portresi çizmenin temel tekniklerini ve her denge tipinin şematik çizimini öğreneceğiz.
1. Denge Tiplerinin Şematik Faz Portreleri
Aşağıdaki çizimler matematiksel olarak doğru hesaplanmıştır — yörüngeler RK4 yöntemiyle, her sistemin vektör alanından numerik olarak üretilmiştir.
2. Yön Alanı (Direction Field) Metodu
Yön alanı çizimi, faz portresini anlamanın en temel yoludur. Her $(x,y)$ noktasında
$(f(x,y), g(x,y))$ vektörü çizilir. Vektörün eğimi:
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{g(x,y)}{f(x,y)} \quad (\text{eğer } f \neq 0) $$
- Faz düzleminde bir ızgara noktaları seç (örneğin $x = -2,-1,0,1,2$; $y = -2,-1,0,1,2$)
- Her noktada $(f(x,y), g(x,y))$ vektörünü hesapla
- Vektörü o noktaya küçük bir ok olarak çiz (eğimi belirler, uzunluğu normalize edilebilir)
- Ok yönünü takip ederek birkaç yörünge çiz
💡 İpucu
Elle çizim yaparken tüm vektörleri çizmek zahmetlidir. Bunun yerine:
- Önce nullcline'ları çiz (sonraki bölüm)
- Eksenler üzerindeki vektör yönlerini belirle
- Denge noktalarını işaretle
- Denge tiplerine göre yörüngeleri şematik çiz
3. Nullcline'lar (Sıfır Eğri Çizgileri)
x-nullcline: $\dot{x} = f(x,y) = 0$ olan noktaların kümesi. Bu eğri üzerinde yatay hareket yoktur.
y-nullcline: $\dot{y} = g(x,y) = 0$ olan noktaların kümesi. Bu eğri üzerinde dikey hareket yoktur.
Sistem: $\dot{x} = x(1 - 0.5y)$, $\dot{y} = y(-0.75 + 0.25x)$
x-nullcline: $x(1 - 0.5y) = 0$ → $x = 0$ veya $y = 2$
y-nullcline: $y(-0.75 + 0.25x) = 0$ → $y = 0$ veya $x = 3$
Nullcline'ların kesiştiği noktalar denge noktalarıdır: $(0,0)$ ve $(3,2)$.
📐 Nullcline Kullanımı
Nullcline'lar faz düzlemini bölgelere ayırır. Her bölgede $\dot{x}$ ve $\dot{y}$'nin işareti sabittir,
bu da yörüngelerin yaklaşık yönünü belirlemeyi kolaylaştırır.
4. Adım Adım Faz Portresi Çizimi (Genel Yöntem)
1
Denge noktalarını bul
$f(x,y)=0$ ve $g(x,y)=0$ denklemlerini çöz. Tüm $(x^*, y^*)$ noktalarını işaretle.
2
Jacobian ve özdeğerleri hesapla
Her denge noktasında Jacobian matrisini bul, özdeğerleri hesapla → denge tipini ve kararlılığı belirle.
3
Nullcline'ları çiz
$f(x,y)=0$ ve $g(x,y)=0$ eğrilerini faz düzleminde çiz.
4
Yön bilgisini belirle
Her bölgede $\dot{x}$ ve $\dot{y}$'nin işaretini kontrol et (bir test noktası seçerek).
5
Yörüngeleri çiz
Denge tipine uygun şematik yörüngeleri çiz. Eğer varsa, özvektör yönlerini takip et.
5. Tüm Denge Tipleri için Özet Tablo
| Denge Tipi | Özdeğerler | Kararlılık | Şematik Çizim |
|---|
| Kararlı Düğüm | $\lambda_1, \lambda_2 < 0$ | Asimptotik Kararlı | İçe doğru radyal eğriler |
| Kararsız Düğüm | $\lambda_1, \lambda_2 > 0$ | Kararsız | Dışa doğru radyal eğriler |
| Eyer Noktası | $\lambda_1 < 0 < \lambda_2$ | Kararsız | Hiperbolik şekil |
| Kararlı Sarmal | $\alpha \pm i\beta,\ \alpha < 0$ | Asimptotik Kararlı | İçe dönen sarmal |
| Kararsız Sarmal | $\alpha \pm i\beta,\ \alpha > 0$ | Kararsız | Dışa dönen sarmal |
| Merkez | $\pm i\beta$ | Kararlı (Lyapunov) | Kapalı elips yörüngeler |
6. Örnek – Sarkacın Faz Portresi
$$
\dot{\theta} = \omega, \quad \dot{\omega} = -\frac{g}{L}\sin\theta
$$
Denge noktaları: $(\theta, \omega) = (n\pi, 0)$
- $n$ çift ($0, \pm 2\pi, \dots$): merkez (kararlı) — sarkaç aşağıda
- $n$ tek ($\pm \pi, \pm 3\pi, \dots$): eyer noktası (kararsız) — sarkaç tepede
● merkez | × eyer noktası
✅ Bu Modülden Sonra
Artık bir diferansiyel denklem sisteminin faz portresini elle çizebilir,
denge tiplerini tanıyabilir ve yörüngelerin genel davranışını yorumlayabilirsiniz.
Bir sonraki modülde
lineer olmayan sistemlerin analizini derinleştireceğiz.