Lineer Olmayan Sistemler – Faz Portreleri

Gerçek dünyadaki sistemlerin çoğu lineer değildir. Bu modülde, lineer olmayan sistemleri analiz etmek için kullanılan yöntemleri (linearizasyon, limit döngüleri, Poincaré-Bendixson teoremi) ve bunların biyoloji, fizik ve mühendislikteki uygulamalarını öğreneceğiz.

1. Linearizasyon Yöntemi (Hatırlatma)

Lineer olmayan bir sistemin bir denge noktası civarındaki davranışını anlamak için sistemi lineerleştiririz. Bu, daha önce gördüğümüz Jacobian matrisi ile yapılır.

\dot{x} = f(x,y), \quad \dot{y} = g(x,y) $$ $$ J(x,y) = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x} & \dfrac{\partial f}{\partial y} \\[10pt] \dfrac{\partial g}{\partial x} & \dfrac{\partial g}{\partial y} \end{pmatrix}

📌 Hartman-Grobman Teoremi

Eğer denge noktasındaki Jacobian'ın hiçbir özdeğerinin reel kısmı sıfır değilse (hiperbolik denge), lineer sistemin faz portresi, lineer olmayan sistemin faz portresine lokal olarak topolojik eşdeğerdir. Yani lineer analiz doğru bilgi verir.

2. Linearizasyonun Yetersiz Kaldığı Durumlar

Eğer Jacobian'ın özdeğerlerinin reel kısmı sıfır ise (saf sanal veya sıfır özdeğer), lineer analiz yetersiz kalır. Bu duruma sınır (borderline) durum denir.

Durum	Lineer Analiz Sonucu	Lineer Olmayan Sistem
Saf sanal özdeğerler ($\pm i\beta$)	Merkez (kararlı)	Merkez veya kararsız sarmal (yüksek mertebe terimlere bağlı)
Sıfır özdeğer ($\lambda = 0$)	Dejenere	Birden fazla denge, düğüm, veya başka tip

Örnek 1 Sınır Durumu: $\dot{x} = y + \varepsilon x^3$, $\dot{y} = -x$

Jacobian: $J(0,0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ → Özdeğerler: $\lambda = \pm i$

Lineer analiz: merkez (kararlı). Ancak:

$\varepsilon < 0$: kararlı sarmal (içe döner)
$\varepsilon = 0$: merkez (kapalı eğriler)
$\varepsilon > 0$: kararsız sarmal (dışa döner)

⚠️ Önemli

Küçük bir lineer olmayan terim ($\varepsilon x^3$), sistemin kararlılığını tamamen değiştirebilir!

3. Limit Döngüleri

Bir limit döngüsü, faz düzleminde izole edilmiş kapalı bir yörüngedir. Limit döngüleri lineer sistemlerde görülmez — tamamen lineer olmayan bir olgudur.

📐 LİMİT DÖNGÜSÜ (şematik)

         , - ~ ~ ~ - ,
     , '      ↑      ' ,
   ,        ↑ | ↑        ,
  ,         ↑ | ↑         ,
  ,      ←───●───→        ,
  ,         ↓ | ↓         ,
   ,        ↓ | ↓        ,
     ,               , '
       ' - , _ _ _ , '

    (İçten ve dıştan yaklaşan yörüngeler limit döngüsüne doğru)

    Kararlı limit döngüsü: Komşu yörüngeler döngüye yaklaşır.
    Kararsız limit döngüsü: Komşu yörüngeler döngüden uzaklaşır.

Örnek 2 Van der Pol Osilatörü (Limit Döngüsü)

\ddot{x} - \mu(1-x^2)\dot{x} + x = 0

Sistem formunda ($\mu > 0$):

\dot{x} = y, \quad \dot{y} = -x + \mu(1-x^2)y

Van der Pol osilatörü, $\mu > 0$ için kararlı bir limit döngüsüne sahiptir. $\mu$ büyüdükçe döngü bozulur (relaksasyon osilasyonu). Bu model kalp atışları, nöron aksiyon potansiyelleri ve radyo devrelerinde görülür.

📐 Van der Pol Faz Portresi (özet)

Orijin ($x=0,y=0$) $\mu > 0$ için kararsız (özdeğerler $\mu/2 \pm i\sqrt{1-\mu^2/4}$). Yörüngeler orijinden dışa doğru sarmal çizer ve limit döngüsüne oturur.

4. Poincaré-Bendixson Teoremi

📐 Poincaré-Bendixson Teoremi (Sezgisel)

İki boyutlu bir sistemde, eğer bir yörünge kompakt bir bölgede kalır ve hiçbir denge noktasına yaklaşmazsa, o yörünge ya bir limit döngüsüne yaklaşır ya da kendisi bir limit döngüsüdür.

Sonuç: Kaos (düzensiz davranış) iki boyutlu sistemlerde oluşamaz. Kaos için en az 3 boyut gerekir.

Örnek 3 Limit Döngüsü Varlığını Kanıtlama

Sistem: $\dot{x} = -y + x(1-x^2-y^2)$, $\dot{y} = x + y(1-x^2-y^2)$

Kutupsal koordinatlara geçelim: $r^2 = x^2+y^2$

r\dot{r} = x\dot{x} + y\dot{y} = r^2(1-r^2) \quad \Rightarrow \quad \dot{r} = r(1-r^2)

$r=0$: denge noktası
$r=1$: limit döngüsü (çünkü $\dot{r}=0$ ve kararlı)
$00$ → yörüngeler içten döngüye yaklaşır
$r>1$: $\dot{r}<0$ → yörüngeler dıştan döngüye yaklaşır

Birim çember ($r=1$) kararlı bir limit döngüsüdür.

5. Gerçek Hayat Modelleri

Model	Sistem	Davranış
Lotka-Volterra (Av-Avcı)	$\dot{x} = \alpha x - \beta xy$, $\dot{y} = -\gamma y + \delta xy$	Merkez tipi denge (kararlı salınım)
Van der Pol (Osilatör)	$\ddot{x} - \mu(1-x^2)\dot{x} + x = 0$	Limit döngüsü (relaksasyon osilasyonu)
Brükselatör (Kimyasal reaksiyon)	$\dot{x} = A - (B+1)x + x^2y$, $\dot{y} = Bx - x^2y$	Belirli parametrelerde limit döngüsü
Lorenz Sistemi (Kaos, 3 boyutlu)	$\dot{x} = \sigma(y-x)$, $\dot{y} = x(\rho-z)-y$, $\dot{z} = xy - \beta z$	$\rho > 24.74$ civarında kaotik (2 boyutlu sistemlerde kaos olmaz!)

6. Lineer Olmayan Sistem Analizi Adımları

Denge noktalarını bul

$f(x,y)=0$, $g(x,y)=0$'ı çöz.

Jacobian'ı hesapla

Her denge noktasında $J$'yi bul.

Özdeğerleri bul ve sınıflandır

Düğüm, eyer, sarmal, merkez — kararlılık.

Nullcline'ları çiz

$f=0$ ve $g=0$ eğrileri ile bölgeleri ayır.

Limit döngüsü ara (varsa)

Poincaré-Bendixson veya sayısal yöntemlerle.

Faz portresini çiz (elle veya bilgisayar ile)

Tüm bilgileri birleştirerek yörüngeleri çiz.

7. Özet: Lineer vs Lineer Olmayan Sistemler

Özellik	Lineer Sistemler	Lineer Olmayan Sistemler
Superpozisyon ilkesi	Evet	Hayır
Limit döngüsü	Yok	Olabilir
Kaos	Yok	3+ boyutta olabilir
Çözüm yöntemi	Özdeğer/özvektör (analitik)	Genelde sayısal veya nitel
Kararlılık analizi	Özdeğerler tam belirler	Lokal: linearizasyon; Global: Lyapunov, Poincaré-Bendixson

✅ Bu Modülden Sonra

Artık lineer olmayan sistemleri analiz edebilir, limit döngülerini tanıyabilir, Poincaré-Bendixson teoremini kullanarak iki boyutlu sistemlerde kaos olamayacağını bilirsiniz. Bir sonraki modülde çözümlü örneklerle tüm bu konuları pekiştireceğiz.

← 04 — Faz Portresi Çizimi 06 — Çözümlü Örnekler →