🎯 AMAÇ
Bu bölümde, bir cismin ağırlık merkezi (kütle merkezi) kavramını öğreneceğiz. Noktasal kütleler ve sürekli cisimler için ağırlık merkezi hesaplamayı, simetrik cisimlerin ağırlık merkezinin simetri ekseninde olduğunu göreceğiz.
❓ Ağırlık Merkezi (Kütle Merkezi) Nedir?
Ağırlık merkezi (veya kütle merkezi), bir cismin tüm kütlesinin toplanmış gibi düşünülebileceği noktadır. Bu noktaya etki eden yerçekimi kuvveti, cismin dönme etkisi olmadan dengede kalmasını sağlar.
📌 ÖNEMLİ
Düzgün (homojen) ve simetrik cisimlerde ağırlık merkezi, simetri merkezindedir. Örneğin: küre, küp, dikdörtgen levha, daire.
📊 Noktasal Kütleler İçin Ağırlık Merkezi
$$ x_{cm} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + \cdots + m_n x_n}{m_1 + m_2 + \cdots + m_n} $$
$$ y_{cm} = \frac{\sum m_i y_i}{\sum m_i}, \quad z_{cm} = \frac{\sum m_i z_i}{\sum m_i} $$
$m_1=2$ kg kütlesi $x=0$'da, $m_2=3$ kg kütlesi $x=5$ m'de bulunuyor. Sistemin ağırlık merkezini bulunuz.
①
Formül
$x_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$
②
Hesapla
$x_{cm} = \frac{2\cdot0 + 3\cdot5}{2+3} = \frac{15}{5} = 3$ m
$m_1=1$ kg $(0,0)$, $m_2=2$ kg $(4,0)$, $m_3=3$ kg $(0,3)$ noktalarında bulunuyor. Ağırlık merkezinin koordinatlarını bulunuz.
①
Toplam kütle
$M = 1+2+3 = 6$ kg
②
$x_{cm}$
$x_{cm} = \frac{1\cdot0 + 2\cdot4 + 3\cdot0}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1.33$ m
③
$y_{cm}$
$y_{cm} = \frac{1\cdot0 + 2\cdot0 + 3\cdot3}{6} = \frac{9}{6} = 1.5$ m
📐 Sürekli Cisimler İçin Ağırlık Merkezi
Sürekli cisimler için ağırlık merkezi integral ile hesaplanır:
$$ x_{cm} = \frac{\int x \, dm}{\int dm}, \quad y_{cm} = \frac{\int y \, dm}{\int dm}, \quad z_{cm} = \frac{\int z \, dm}{\int dm} $$
📌 BAZI GEOMETRİK ŞEKİLLERİN AĞIRLIK MERKEZİ
| Şekil | Ağırlık Merkezi |
|---|
| Dikdörtgen (kenar $a$, $b$) | Köşegenlerin kesişim noktası (merkez) |
| Üçgen | Kenarortayların kesişim noktası (tabandan $h/3$ yükseklikte) |
| Daire | Merkez |
| Düzgün çubuk | Orta nokta |
| Yarım daire | Merkezden $4r/(3\pi)$ uzaklıkta |
Bir üçgenin tabanı $b=6$ m, yüksekliği $h=9$ m'dir. Ağırlık merkezinin tabandan yüksekliğini bulunuz.
①
Üçgen ağırlık merkezi
Tabandan itibaren $h/3$ yüksekliktedir.
②
Hesapla
$y_{cm} = h/3 = 9/3 = 3$ m (tabandan)
🔄 Simetri ve Ağırlık Merkezi
📌 SİMETRİ KURALI
- Bir cismin bir simetri ekseni varsa, ağırlık merkezi o eksen üzerindedir.
- Bir cismin iki simetri ekseni varsa, ağırlık merkezi bu eksenlerin kesişim noktasındadır.
- Boşluklu (oyuk) cisimlerde ağırlık merkezi boşluğa doğru kayar.
Kenar uzunlukları $10$ cm ve $20$ cm olan bir dikdörtgen levhanın merkezinde yarıçapı $3$ cm olan dairesel bir boşluk var. Boşluklu levhanın ağırlık merkezi nerededir? (Dikdörtgenin ağırlık merkezi merkezdedir, boşluk merkezde olduğu için ağırlık merkezi değişmez mi? Bu örnek için boşluk merkezde olduğunda ağırlık merkezi yine merkezdedir. Boşluk merkezde değilse kayma olur.)
①
Not
Boşluk simetrik yerleştirilmişse ağırlık merkezi değişmez. Boşluk merkez dışında ise, boşluğun kütlesi negatif kütle gibi düşünülerek hesap yapılır.
📌 ÖZET
- Ağırlık merkezi: Cismin tüm kütlesinin toplanmış gibi düşünülebileceği nokta
- Noktasal kütleler: $x_{cm} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$
- Sürekli cisimler: $x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm}$
- Simetrik cisimlerde ağırlık merkezi simetri merkezindedir
- Üçgen: tabandan $h/3$ yükseklikte
- Yarım daire: merkezden $4r/(3\pi)$ uzaklıkta
← Ana modül sayfasına dön