🎯 AMAÇ
Bu bölümde, dönme kinetik enerjisi kavramını öğreneceğiz. Yuvarlanma hareketinde (öteleme + dönme) toplam kinetik enerjiyi hesaplamayı ve enerji korunumunu yuvarlanma problemlerinde uygulamayı göreceğiz.
⚡ Dönme Kinetik Enerjisi Nedir?
Dönmekte olan bir cismin kinetik enerjisi, dönme hareketinden dolayı sahip olduğu enerjidir. Doğrusal kinetik enerji $K = \frac{1}{2}mv^2$'nin dönme analogudur.
$$ K_{dönme} = \frac{1}{2} I \omega^2 $$
Burada $I$ eylemsizlik momenti (kg·m²), $\omega$ açısal hız (rad/s). Birimi joule (J)'dür.
Eylemsizlik momenti $I = 4$ kg·m² olan bir disk $\omega = 3$ rad/s ile dönüyorsa dönme kinetik enerjisi kaç joule'dür?
①
Formül
$K = \frac{1}{2} I \omega^2$
②
Hesapla
$K = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 9 = 2 \cdot 9 = 18$ J
🔄 Yuvarlanma Hareketi (Öteleme + Dönme)
Bir cisim yuvarlanırken hem öteleme hem de dönme hareketi yapar. Toplam kinetik enerji, öteleme kinetik enerjisi ile dönme kinetik enerjisinin toplamıdır.
$$ K_{toplam} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 $$
📌 YUVARLANMA KOŞULU
Kaymadan yuvarlanma için teğetsel hız ile kütle merkezinin hızı arasında $v_{cm} = \omega r$ ilişkisi vardır. Bu durumda:
$$ K_{toplam} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \frac{v^2}{r^2} = \frac{1}{2} \left( m + \frac{I}{r^2} \right) v^2 $$
Kütlesi $m=2$ kg, yarıçapı $r=0.2$ m olan bir disk ($I = \frac{1}{2}mr^2$) $v=3$ m/s hızla kaymadan yuvarlanıyor. Toplam kinetik enerjisini bulunuz.
①
Eylemsizlik momenti
$I = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (0.2)^2 = 1 \cdot 0.04 = 0.04$ kg·m²
②
Açısal hız
$\omega = v/r = 3 / 0.2 = 15$ rad/s
③
Toplam kinetik enerji
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 9 + \frac{1}{2} \cdot 0.04 \cdot 225 = 9 + 4.5 = 13.5$ J
📐 Eğik Düzlemde Yuvarlanma (Enerji Korunumu)
📌 ENERJİ KORUNUMU
Sürtünme kaymaya engel olacak kadar varsa (ancak iş yapmazsa), mekanik enerji korunur. Potansiyel enerji, öteleme + dönme kinetik enerjisine dönüşür:
$$ mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2} \left( m + \frac{I}{r^2} \right) v^2 $$
Bir disk ($I = \frac{1}{2}mr^2$) ve bir halka ($I = mr^2$) aynı $h$ yüksekliğinden eğik düzlemde kaymadan yuvarlanmaya bırakılıyor. Hangisi daha hızlı ulaşır?
①
Enerji korunumu
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I(v^2/r^2) = \frac{1}{2}v^2(m + I/r^2)$
②
Disk için
$I/r^2 = m/2$, $m + I/r^2 = 1.5m$, $v^2 = \frac{2gh}{1.5} = \frac{4}{3}gh$
③
Halka için
$I/r^2 = m$, $m + I/r^2 = 2m$, $v^2 = gh$
④
Karşılaştırma
Disk: $v = \sqrt{4gh/3}$, Halka: $v = \sqrt{gh}$. Disk daha hızlıdır (daha küçük $I$).
Kütlesi $m=5$ kg, yarıçapı $r=0.1$ m olan katı bir küre ($I = \frac{2}{5}mr^2$) $h=2$ m yüksekliğindeki eğik düzlemde kaymadan yuvarlanıyor. $g=10$ m/s². Taban hızını bulunuz.
①
Eylemsizlik momenti
$I = \frac{2}{5} \cdot 5 \cdot (0.1)^2 = 2 \cdot 0.01 = 0.02$ kg·m², $I/r^2 = 0.02 / 0.01 = 2$ kg
②
Enerji korunumu
$mgh = \frac{1}{2}(m + I/r^2)v^2 \Rightarrow 5 \cdot 10 \cdot 2 = \frac{1}{2}(5+2)v^2$
③
Hesapla
$100 = 3.5 v^2 \Rightarrow v^2 = 100/3.5 \approx 28.57 \Rightarrow v \approx 5.35$ m/s
📌 ÖZET
- Dönme kinetik enerjisi: $K_{dönme} = \frac{1}{2} I \omega^2$
- Yuvarlanma: $K_{toplam} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$, $v = \omega r$ (kaymadan)
- Enerji korunumu ile hız: $v^2 = \frac{2gh}{1 + I/(mr^2)}$
- Eylemsizlik momenti küçük olan cisimler ($I$ küçük) daha hızlı yuvarlanır (disk > küre > halka)
- Yuvarlanmada sürtünme kuvveti kaymayı önler, ancak iş yapmaz (enerji kaybı olmaz)
← Ana modül sayfasına dön