🎯 AMAÇ
Bu bölümde, tek boyutta hareket eden cisimlerin konum-zaman ($x-t$), hız-zaman ($v-t$) ve ivme-zaman ($a-t$) grafiklerini yorumlamayı, grafikler arasında dönüşüm yapmayı ve grafiklerden hız, ivme, yer değiştirme gibi büyüklükleri bulmayı öğreneceğiz.
📐 Grafikler Arası İlişkiler
Kinematikte üç temel grafik vardır ve aralarında türev/integral ilişkileri bulunur:
$$ v(t) = \frac{dx}{dt} \quad \text{(konum grafiğinin eğimi = hız)} $$
$$ a(t) = \frac{dv}{dt} \quad \text{(hız grafiğinin eğimi = ivme)} $$
$$ \Delta x = \int v(t) \, dt \quad \text{(hız grafiğinin altındaki alan = yer değiştirme)} $$
$$ \Delta v = \int a(t) \, dt \quad \text{(ivme grafiğinin altındaki alan = hız değişimi)} $$
| Grafik | Eğim | Alan |
|---|
| $x-t$ | Hız ($v$) | - |
| $v-t$ | İvme ($a$) | Yer değiştirme ($\Delta x$) |
| $a-t$ | - | Hız değişimi ($\Delta v$) |
📍 Konum-Zaman ($x-t$) Grafiği
📌 EĞİM = HIZ
$x-t$ grafiğinin eğimi, cismin hızını verir:
- Eğim pozitif → $v > 0$ (cisim pozitif yönde hareket ediyor)
- Eğim negatif → $v < 0$ (cisim negatif yönde hareket ediyor)
- Eğim sıfır → $v = 0$ (cisim duruyor)
- Eğim sabit → Sabit hızlı hareket
- Eğim değişiyor → İvmeli hareket
Bir cismin konum-zaman grafiği $x(t) = 2t^2 + 3t$ (x metre, t saniye) ile veriliyor. $t=2$ s anındaki hızını bulunuz.
①
Türev al
$v(t) = \frac{dx}{dt} = 4t + 3$
②
$t=2$'de hız
$v(2) = 4(2) + 3 = 11$ m/s
⚡ Hız-Zaman ($v-t$) Grafiği
📌 EĞİM = İVME, ALAN = YER DEĞİŞTİRME
- Eğim → İvme ($a = \Delta v / \Delta t$)
- Grafiğin altındaki alan → Yer değiştirme ($\Delta x$)
Bir cismin hızı $v(t) = 3t + 2$ (m/s) olarak veriliyor. $t=0$'dan $t=4$ s'ye kadar olan yer değiştirmeyi bulunuz.
①
Alan = integral
$\Delta x = \int_0^4 (3t + 2) dt$
②
Hesapla
$\Delta x = \left[ \frac{3}{2}t^2 + 2t \right]_0^4 = \frac{3}{2}(16) + 8 = 24 + 8 = 32$ m
Bir cismin hız-zaman grafiği $v(t) = -2t + 8$ (m/s) ile veriliyor. İvmesini bulunuz.
①
İvme = türev
$a(t) = \frac{dv}{dt} = -2$ m/s²
②
Yorum
Sabit negatif ivme (yavaşlama)
📈 İvme-Zaman ($a-t$) Grafiği
📌 ALAN = HIZ DEĞİŞİMİ
$a-t$ grafiğinin altındaki alan, hızdaki değişimi ($\Delta v = v_{\text{son}} - v_{\text{ilk}}$) verir.
Bir cismin ivmesi $a(t) = 4t$ (m/s²) olarak veriliyor. $t=0$'da $v_0=5$ m/s ise $t=3$ s'deki hızını bulunuz.
①
Hız değişimi
$\Delta v = \int_0^3 4t \, dt = \left[ 2t^2 \right]_0^3 = 18$ m/s
②
Son hız
$v(3) = v_0 + \Delta v = 5 + 18 = 23$ m/s
🔄 Grafikler Arası Dönüşüm
Bir grafikten diğerine geçmek için:
- $x(t)$ → $v(t)$: türev al (eğim hesapla)
- $v(t)$ → $a(t)$: türev al (eğim hesapla)
- $a(t)$ → $v(t)$: integral al (alan hesapla) + başlangıç hızı
- $v(t)$ → $x(t)$: integral al (alan hesapla) + başlangıç konumu
Bir cismin ivmesi sabit $a=2$ m/s², $t=0$'da $x_0=0$, $v_0=0$ ise $v-t$ ve $x-t$ grafiklerini yazınız.
①
$v-t$ grafiği
$v(t) = v_0 + at = 0 + 2t = 2t$ (doğru, eğim=2)
②
$x-t$ grafiği
$x(t) = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2 = 0 + 0 + \frac{1}{2}(2)t^2 = t^2$ (parabol)
📌 ÖZET
- $x-t$ grafiğinin eğimi → hız ($v$)
- $v-t$ grafiğinin eğimi → ivme ($a$), alanı → yer değiştirme ($\Delta x$)
- $a-t$ grafiğinin alanı → hız değişimi ($\Delta v$)
- Grafikler arasında geçiş: türev (eğim) ve integral (alan)
- Sabit ivmeli harekette $v-t$ doğrusal, $x-t$ paraboldür
← Ana modül sayfasına dön