Bu bölümde; küresel simetriye sahip yük dağılımlarında (noktasal yük, içi boş küre, düzgün yüklü küre, iletken küre) Gauss yasasını kullanarak elektrik alanı hesaplamayı öğreneceğiz.
Küresel simetrik bir yük dağılımında, elektrik alan sadece merkeze olan uzaklığa bağlıdır ve radyal yönlüdür. Bu durumda Gauss yüzeyi olarak, merkezde yer alan eş merkezli bir küre seçilir.
Bir noktasal yük $q$ için, herhangi bir $r$ uzaklığındaki elektrik alan:
Bu ifade, daha önce Coulomb yasasından bildiğimiz elektrik alan formülüdür. Gauss yasası, Coulomb yasasını doğrudan türetmemizi sağlar.
Yarıçapı $R$, toplam yükü $Q$ olan düzgün yüklü ince bir küresel kabuk için:
| Bölge | Gauss Yüzeyi | İç Yük $Q_{\text{iç}}$ | Elektrik Alan $E$ |
|---|---|---|---|
| $r < R$ (iç) | Küre (yarıçap $r$) | $Q_{\text{iç}} = 0$ | $E = 0$ |
| $r > R$ (dış) | Küre (yarıçap $r$) | $Q_{\text{iç}} = Q$ | $E = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{Q}{r^2}$ |
Düzgün yüklü ince bir küresel kabuğun içinde elektrik alan sıfırdır. Dışında ise tüm yük merkezde toplanmış gibi davranır.
Yarıçapı $R$, toplam yükü $Q$ olan yalıtkan, düzgün yüklü katı bir küre için:
| Bölge | Gauss Yüzeyi | İç Yük $Q_{\text{iç}}$ | Elektrik Alan $E$ |
|---|---|---|---|
| $r < R$ (iç) | Küre (yarıçap $r$) | $Q_{\text{iç}} = Q \cdot \dfrac{r^3}{R^3}$ | $E = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{Qr}{R^3}$ |
| $r > R$ (dış) | Küre (yarıçap $r$) | $Q_{\text{iç}} = Q$ | $E = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{Q}{r^2}$ |
Düzgün yüklü katı kürenin içinde elektrik alan, merkezden uzaklıkla doğru orantılıdır ($E \propto r$). Dışında ise uzaklığın karesiyle ters orantılı ($1/r^2$) olarak azalır.
Yarıçapı $R$, toplam yükü $Q$ olan iletken bir küre için:
| Bölge | Gauss Yüzeyi | İç Yük $Q_{\text{iç}}$ | Elektrik Alan $E$ |
|---|---|---|---|
| $r < R$ (iç) | Küre (yarıçap $r$) | $Q_{\text{iç}} = 0$ | $E = 0$ |
| $r > R$ (dış) | Küre (yarıçap $r$) | $Q_{\text{iç}} = Q$ | $E = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{Q}{r^2}$ |
İletken kürenin içinde elektrik alan sıfırdır. Elektrostatik dengede tüm net yük iletkenin dış yüzeyinde toplanır. Bu nedenle iç kısım için $E = 0$'dır. Dış kısım ise yine bir noktasal yük gibi davranır.
Yarıçapı $R = 0{,}1 \text{ m}$, toplam yükü $Q = 2 \times 10^{-6} \text{ C}$ olan düzgün yüklü bir katı kürenin $r = 0{,}05 \text{ m}$ ve $r = 0{,}2 \text{ m}$ noktalarındaki elektrik alanını bulunuz.
$\boxed{E(r=0{,}05) = 9 \times 10^5 \text{ N/C},\quad E(r=0{,}2) = 4{,}5 \times 10^5 \text{ N/C}}$
Yarıçapı $R = 0{,}15 \text{ m}$, toplam yükü $Q = 3 \times 10^{-6} \text{ C}$ olan düzgün yüklü ince bir küresel kabuğun $r = 0{,}1 \text{ m}$ ve $r = 0{,}2 \text{ m}$ noktalarındaki elektrik alanını bulunuz.
$\boxed{E(r=0{,}1) = 0,\quad E(r=0{,}2) = 6{,}75 \times 10^5 \text{ N/C}}$
Yarıçapı $R = 0{,}08 \text{ m}$ olan iletken bir kürenin yüzeyinde $Q = 4 \times 10^{-6} \text{ C}$ yük bulunmaktadır. Kürenin içinde ($r = 0{,}04 \text{ m}$) ve dışında ($r = 0{,}12 \text{ m}$) elektrik alanı bulunuz.
$\boxed{E_{\text{iç}} = 0,\quad E_{\text{dış}} = 2{,}5 \times 10^6 \text{ N/C}}$