Bu bölümde; silindirik simetriye sahip yük dağılımlarında (sonsuz uzun çubuk, düzgün yüklü silindir) Gauss yasasını kullanarak elektrik alanı hesaplamayı öğreneceğiz.
Silindirik simetrik bir yük dağılımında, elektrik alan sadece silindir eksenine olan dik uzaklığa bağlıdır ve radyal yönlüdür. Bu durumda Gauss yüzeyi olarak, eksenle eş merkezli bir silindir seçilir.
Burada $L$ silindirin boyu, $r$ ise eksene olan dik uzaklıktır.
Silindirik Gauss yüzeyinin yanal alanı $A = 2\pi r L$'dir. Alt ve üst tabanların akıya katkısı sıfırdır çünkü elektrik alan çizgileri bu tabanlara paraleldir ($\vec{E} \cdot d\vec{A} = 0$).
Birim uzunluk başına yükü $\lambda$ ($\text{C/m}$) olan sonsuz uzun bir çubuk için:
| Bölge | Gauss Yüzeyi | İç Yük $Q_{\text{iç}}$ | Elektrik Alan $E$ |
|---|---|---|---|
| $r > 0$ (her yerde) | Silindir (yarıçap $r$, boy $L$) | $Q_{\text{iç}} = \lambda L$ | $E = \dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0} \dfrac{\lambda}{r}$ |
Sonsuz uzun bir çubuğun elektrik alanı, çubuktan uzaklaştıkça $1/r$ oranında azalır. (Noktasal yükten farklı olarak $1/r^2$ ile değil, daha yavaş azalır.)
Yarıçapı $R$, hacimsel yük yoğunluğu $\rho$ ($\text{C/m}^3$) olan düzgün yüklü yalıtkan sonsuz uzun bir silindir için:
| Bölge | Gauss Yüzeyi | İç Yük $Q_{\text{iç}}$ | Elektrik Alan $E$ |
|---|---|---|---|
| $r < R$ (iç) | Silindir (yarıçap $r$, boy $L$) | $Q_{\text{iç}} = \rho \cdot \pi r^2 L$ | $E = \dfrac{\rho r}{2\varepsilon_0} = \dfrac{\lambda r}{2\pi\varepsilon_0 R^2}$ |
| $r > R$ (dış) | Silindir (yarıçap $r$, boy $L$) | $Q_{\text{iç}} = \rho \cdot \pi R^2 L = \lambda L$ | $E = \dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0} \dfrac{\lambda}{r}$ |
Burada $\lambda = \rho \pi R^2$ birim uzunluk başına düşen toplam yüktür.
Düzgün yüklü silindirin içinde elektrik alan, merkezden uzaklıkla doğru orantılıdır ($E \propto r$). Dışında ise $1/r$ ile azalır (sonsuz çubuk modelinde olduğu gibi).
İç yarıçapı $R_1$, dış yarıçapı $R_2$ olan koaksiyel bir iletken kablo sisteminde, iç iletken üzerinde $+\lambda$, dış iletken üzerinde $-\lambda$ çizgisel yükü vardır.
| Bölge | Gauss Yüzeyi | İç Yük $Q_{\text{iç}}$ | Elektrik Alan $E$ |
|---|---|---|---|
| $r < R_1$ | Silindir (yarıçap $r$, boy $L$) | $Q_{\text{iç}} = 0$ | $E = 0$ |
| $R_1 < r < R_2$ | Silindir (yarıçap $r$, boy $L$) | $Q_{\text{iç}} = \lambda L$ | $E = \dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0} \dfrac{\lambda}{r}$ |
| $r > R_2$ | Silindir (yarıçap $r$, boy $L$) | $Q_{\text{iç}} = \lambda L + (-\lambda L) = 0$ | $E = 0$ |
Koaksiyel kablolarda net elektrik alan sadece iki iletken silindir arasında oluşur. En içteki iletkenin içinde ve en dıştaki iletkenin dışında net alan sıfırdır. Bu kalkanlama yapısı, kabloların dış ortama sinyal sızdırmasını ve dış parazitlerden etkilenmesini önler.
Birim uzunluk başına yükü $\lambda = 4 \times 10^{-6} \text{ C/m}$ olan sonsuz uzun bir çubuktan $r = 0{,}1 \text{ m}$ uzaklıktaki elektrik alanını bulunuz. ($\varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12} \text{ C}^2/\text{N}\cdot\text{m}^2$)
$\boxed{E = 7{,}2 \times 10^5 \text{ N/C}}$
Yarıçapı $R = 0{,}05 \text{ m}$, hacimsel yük yoğunluğu $\rho = 2 \times 10^{-5} \text{ C/m}^3$ olan düzgün yüklü sonsuz uzun bir silindirin $r = 0{,}02 \text{ m}$ ve $r = 0{,}08 \text{ m}$ noktalarındaki elektrik alanını bulunuz.
$\boxed{E(r=0{,}02) = 2{,}26 \times 10^4 \text{ N/C},\quad E(r=0{,}08) = 3{,}53 \times 10^4 \text{ N/C}}$
İç iletken yarıçapı $R_1 = 0{,}01 \text{ m}$, dış iletken yarıçapı $R_2 = 0{,}04 \text{ m}$ olan koaksiyel bir kabloda iç iletken üzerinde $\lambda = 3 \times 10^{-6} \text{ C/m}$ çizgisel yükü vardır. $r = 0{,}005 \text{ m}$, $r = 0{,}02 \text{ m}$ ve $r = 0{,}05 \text{ m}$ dik uzaklıklarındaki elektrik alan şiddetlerini bulunuz.
$\boxed{E(r=0{,}005) = 0,\quad E(r=0{,}02) = 2{,}7 \times 10^6 \text{ N/C},\quad E(r=0{,}05) = 0}$