🎯 AMAÇ
Bu bölümde, çizgisel, yüzeysel ve hacimsel yük dağılımlarının oluşturduğu elektrik potansiyelini integral yöntemiyle nasıl hesaplayacağımızı öğreneceğiz.
📌 Sürekli Yük Dağılımları için Potansiyel Formülü
Sürekli bir yük dağılımının oluşturduğu elektrik potansiyel, küçük yük parçalarının potansiyellerinin toplanması (integral) ile bulunur:
$$ V = \int dV = \int k \frac{dq}{r} $$
Burada $dq$, yük dağılımının küçük bir parçasındaki yük miktarıdır. $r$, $dq$'dan potansiyelin hesaplandığı noktaya olan uzaklıktır.
📌 YÜK YOĞUNLUKLARI
| Dağılım Tipi | Sembol | $dq$ ifadesi | Birim |
|---|
| Çizgisel | $\lambda$ | $dq = \lambda \, dl$ | C/m |
| Yüzeysel | $\sigma$ | $dq = \sigma \, dA$ | C/m² |
| Hacimsel | $\rho$ | $dq = \rho \, dV$ | C/m³ |
📏 Çizgisel Yük Dağılımı (İnce Çubuk)
Uzunluğu $L$, toplam yükü $Q$ olan düzgün yüklü ince bir çubuk x-ekseni üzerinde $x=0$'dan $x=L$'ye yerleştirilmiştir. Çubuktan $a$ uzaklıktaki (x-ekseni üzerinde, çubuğun sağ ucunda) bir noktadaki potansiyeli bulunuz.
1
Yük yoğunluğu
$\lambda = \dfrac{Q}{L}$ (sabit)
2
Küçük bir parçanın katkısı
$dq = \lambda dx$, $r = a + (L - x)$ (P noktasına uzaklık)
3
Potansiyel integrali
$V = k \int_0^L \dfrac{\lambda dx}{a + L - x}$
4
Değişken değiştir ve hesapla
$u = a + L - x$, $du = -dx$. $x=0$'da $u=a+L$, $x=L$'de $u=a$
5
Sonuç
$V = k\lambda \ln\left(\dfrac{a+L}{a}\right) = \dfrac{kQ}{L} \ln\left(1 + \dfrac{L}{a}\right)$
$\boxed{V = \dfrac{kQ}{L} \ln\left(1 + \dfrac{L}{a}\right)}$
🔄 Düzgün Yüklü Halka (Eksen Üzerinde)
Yarıçapı $R$, toplam yükü $Q$ olan düzgün yüklü ince bir halkanın merkezinden $x$ uzaklıktaki eksen üzerindeki bir noktadaki potansiyeli bulunuz.
1
Halka üzerinde bir parçacık
Halka üzerindeki her $dq$, P noktasına $r = \sqrt{x^2 + R^2}$ uzaklığındadır.
2
Potansiyel integrali
$V = \int k \dfrac{dq}{r} = \dfrac{k}{r} \int dq = \dfrac{kQ}{r}$
3
Sonuç
$V = \dfrac{kQ}{\sqrt{x^2 + R^2}}$
$\boxed{V = \dfrac{kQ}{\sqrt{x^2 + R^2}}}$
📌 ÖZEL DURUMLAR
- Halkanın merkezinde ($x = 0$): $V = kQ/R$
- Çok uzakta ($x \gg R$): $V \approx kQ/x$ (noktasal yük gibi)
🔲 Düzgün Yüklü Disk (Eksen Üzerinde)
Yarıçapı $R$, yüzey yük yoğunluğu $\sigma$ olan düzgün yüklü bir diskin merkezinden $x$ uzaklıktaki eksen üzerindeki bir noktadaki potansiyelini bulunuz.
1
Disk üzerinde bir halka parçası
Yarıçapı $r$, kalınlığı $dr$ olan bir halkanın yükü: $dq = \sigma \cdot 2\pi r \, dr$
2
Halkanın potansiyeli (Örnek 2'den)
$dV = \dfrac{k \, dq}{\sqrt{x^2 + r^2}} = \dfrac{k \sigma \cdot 2\pi r \, dr}{\sqrt{x^2 + r^2}}$
3
Tüm disk üzerinde integral
$V = \int dV = 2\pi k\sigma \int_0^R \dfrac{r \, dr}{\sqrt{x^2 + r^2}}$
4
İntegrali al
$\int \dfrac{r \, dr}{\sqrt{x^2 + r^2}} = \sqrt{x^2 + r^2}$
5
Sonuç
$V = 2\pi k\sigma \left( \sqrt{x^2 + R^2} - |x| \right)$
$\boxed{V = 2\pi k\sigma \left( \sqrt{x^2 + R^2} - |x| \right)}$
📌 ÖZEL DURUMLAR
- Diskin merkezinde ($x = 0$): $V = 2\pi k\sigma R$
- Çok uzakta ($x \gg R$): $V \approx \dfrac{kQ}{x}$ (noktasal yük gibi, $Q = \sigma \pi R^2$)
- Sonsuz düzlem ($R \to \infty$): $V$ sonsuza gider (referans noktası sorunu)
⚪ Düzgün Yüklü Küresel Kabuk
Yarıçapı $R$, toplam yükü $Q$ olan düzgün yüklü ince bir küresel kabuğun $r$ uzaklığındaki potansiyelini bulunuz.
1
İç bölge ($r < R$)
Küresel kabuğun içinde elektrik alan sıfırdır, bu nedenle potansiyel sabittir ve yüzeydeki değere eşittir: $V = \dfrac{kQ}{R}$
2
Dış bölge ($r > R$)
Tüm yük merkezdeymiş gibi davranır: $V = \dfrac{kQ}{r}$
$\boxed{V(r) = \begin{cases} \dfrac{kQ}{R}, & r \le R \\ \dfrac{kQ}{r}, & r \ge R \end{cases}}$
📌 ÖZET
- Sürekli yük dağılımlarında potansiyel: $V = \int k \, dq / r$
- Düzgün yüklü halka (eksen): $V = \dfrac{kQ}{\sqrt{x^2 + R^2}}$
- Düzgün yüklü disk (eksen): $V = 2\pi k\sigma \left( \sqrt{x^2 + R^2} - |x| \right)$
- Düzgün yüklü küresel kabuk: $V_{\text{iç}} = kQ/R$, $V_{\text{dış}} = kQ/r$
← Modül ana sayfasına dön