🎯 AMAÇ
Bu bölümde, manyetik alan içinde hareket eden yüklü parçacıkların izlediği yörüngeleri, dairesel hareket koşullarını ve siklotron frekansını öğreneceğiz.
📌 Manyetik Alanda Hareket Eden Yüklü Parçacık
Bir $q$ yükü, $\vec{v}$ hızıyla düzgün bir manyetik alan $\vec{B}$ içinde hareket ederken üzerine etki eden manyetik kuvvet:
$$ \vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B} $$
Bu kuvvet her zaman hıza dik olduğu için iş yapmaz, yalnızca parçacığın yönünü değiştirir. Hızın büyüklüğü sabit kalır.
📌 DURUMLAR
- $\vec{v} \parallel \vec{B}$ (hız alana paralel): $F = 0$, parçacık doğrusal hareket eder
- $\vec{v} \perp \vec{B}$ (hız alana dik): $F = qvB$, parçacık dairesel hareket yapar
- $\vec{v}$ alana açılı: $v_\parallel$ ve $v_\perp$ bileşenleri, sarmal (helic) hareket oluşur
⚪ Dairesel Hareket ($\vec{v} \perp \vec{B}$)
Manyetik kuvvet merkezcil kuvvet görevi görür:
$$ q v B = \frac{m v^2}{r} $$
Buradan dönme yarıçapı (Larmor yarıçapı):
$$ r = \frac{m v}{q B} $$
Açısal hız (siklotron frekansı):
$$ \omega = \frac{v}{r} = \frac{q B}{m} $$
Periyot:
$$ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi m}{q B} $$
📌 ÖNEMLİ NOTLAR
- Yarıçap $r = mv/(qB)$: hızla doğru, manyetik alanla ters orantılıdır
- Siklotron frekansı $\omega = qB/m$: hızdan bağımsızdır!
- Periyot $T = 2\pi m/(qB)$: hızdan bağımsızdır
Bir proton ($m_p = 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}$, $q = +1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$) $v = 2 \times 10^6 \text{ m/s}$ hızla manyetik alana dik olarak giriyor. Manyetik alan $B = 0.5 \text{ T}$'dır. Protonun izleyeceği dairenin yarıçapını bulunuz.
1
Formülü yaz
$r = \dfrac{mv}{qB}$
2
Değerleri yerine koy
$r = \dfrac{1.67 \times 10^{-27} \times 2 \times 10^6}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.5} = \dfrac{3.34 \times 10^{-21}}{8 \times 10^{-20}} = 0.04175 \text{ m}$
$\boxed{r \approx 4.18 \text{ cm}}$
Bir elektron ($m_e = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}$, $q = -1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$) $B = 0.2 \text{ T}$'lık manyetik alanda dairesel hareket yapıyor. Siklotron frekansını ve periyodunu bulunuz.
1
Siklotron frekansı
$\omega = \dfrac{qB}{m} = \dfrac{1.6 \times 10^{-19} \times 0.2}{9.11 \times 10^{-31}} = \dfrac{3.2 \times 10^{-20}}{9.11 \times 10^{-31}} = 3.51 \times 10^{10} \text{ rad/s}$
2
Periyot
$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{3.51 \times 10^{10}} = 1.79 \times 10^{-10} \text{ s}$
$\boxed{\omega = 3.51 \times 10^{10} \text{ rad/s},\quad T = 1.79 \times 10^{-10} \text{ s}}$
Bir proton $r = 0.05 \text{ m}$ yarıçaplı dairesel yörüngede hareket ediyor. Manyetik alan $B = 0.3 \text{ T}$'dır. Protonun hızını bulunuz.
1
Formülü düzenle
$v = \dfrac{q B r}{m}$
2
Değerleri yerine koy
$v = \dfrac{1.6 \times 10^{-19} \times 0.3 \times 0.05}{1.67 \times 10^{-27}} = \dfrac{2.4 \times 10^{-21}}{1.67 \times 10^{-27}} = 1.44 \times 10^6 \text{ m/s}$
$\boxed{v = 1.44 \times 10^6 \text{ m/s}}$
Bir elektron $v = 2 \times 10^6 \text{ m/s}$ hızla $B = 0.1 \text{ T}$'lık manyetik alana $30^\circ$ açıyla giriyor. Sarmal yörüngenin yarıçapını ve adım uzunluğunu bulunuz. ($m_e = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}$, $q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$)
1
Hız bileşenleri
$v_\perp = v \sin\theta = 2 \times 10^6 \times 0.5 = 1 \times 10^6 \text{ m/s}$
$v_\parallel = v \cos\theta = 2 \times 10^6 \times 0.866 = 1.732 \times 10^6 \text{ m/s}$
2
Dairesel hareket yarıçapı ($v_\perp$ ile)
$r = \dfrac{m v_\perp}{qB} = \dfrac{9.11 \times 10^{-31} \times 1 \times 10^6}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.1} = \dfrac{9.11 \times 10^{-25}}{1.6 \times 10^{-20}} = 5.69 \times 10^{-5} \text{ m}$
3
Periyot
$T = \dfrac{2\pi m}{qB} = \dfrac{2\pi \times 9.11 \times 10^{-31}}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.1} = 3.58 \times 10^{-10} \text{ s}$
4
Adım uzunluğu
$p = v_\parallel \cdot T = 1.732 \times 10^6 \times 3.58 \times 10^{-10} = 6.20 \times 10^{-4} \text{ m} = 0.62 \text{ mm}$
$\boxed{r = 5.69 \times 10^{-5} \text{ m},\quad p = 0.62 \text{ mm}}$
Bir siklotronda protonlar $B = 1.5 \text{ T}$'lık manyetik alanda hızlandırılıyor. Protonların siklotron frekansını ve maksimum yarıçap $r = 0.5 \text{ m}$ için protonların hızını ve kinetik enerjisini bulunuz.
1
Siklotron frekansı
$\omega = \dfrac{qB}{m} = \dfrac{1.6 \times 10^{-19} \times 1.5}{1.67 \times 10^{-27}} = 1.44 \times 10^8 \text{ rad/s}$
2
Maksimum hız
$v = \dfrac{q B r}{m} = \dfrac{1.6 \times 10^{-19} \times 1.5 \times 0.5}{1.67 \times 10^{-27}} = 7.19 \times 10^7 \text{ m/s}$
3
Kinetik enerji
$K = \dfrac{1}{2} m v^2 = \dfrac{1}{2} \times 1.67 \times 10^{-27} \times (7.19 \times 10^7)^2 = 4.32 \times 10^{-12} \text{ J} = 27 \text{ MeV}$
$\boxed{\omega = 1.44 \times 10^8 \text{ rad/s},\quad v = 7.19 \times 10^7 \text{ m/s},\quad K = 27 \text{ MeV}}$
📌 SİKLOTRON
Siklotron, yüklü parçacıkları manyetik alan kullanarak dairesel yörüngede tutan ve alternatif elektrik alanla hızlandıran bir cihazdır. Parçacıkların enerjisi, yarıçapla birlikte artar.
📌 ÖZET
- Dairesel yörünge yarıçapı: $r = \dfrac{mv}{qB}$
- Siklotron frekansı: $\omega = \dfrac{qB}{m}$ (hızdan bağımsız)
- Periyot: $T = \dfrac{2\pi m}{qB}$ (hızdan bağımsız)
- Sarmal hareket: $v_\perp$ dairesel, $v_\parallel$ doğrusal hareket yapar
- Adım uzunluğu: $p = v_\parallel \cdot T$
← Modül ana sayfasına dön