SORU-1
Yüzey Alanı Hesaplama
Aşağıdaki düzlemin, $x^2 + y^2 = 7$ silindirinin içinde kalan kısmının yüzey alanını bulunuz.
Düzlem Denklemi: $\quad 2x + 3y + 6z = 9$
📐 Bilinmesi Gereken Kural
Yüzey Alanı Formülü
$z = g(x,y)$ şeklinde ifade edilen bir yüzeyin $xy$-düzlemindeki $D$ bölgesi üzerindeki alanı şu formülle hesaplanır:
$$A(S) = \iint_D \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\; dA$$
Burada $D$, silindir $x^2 + y^2 \leq 7$ tarafından $xy$-düzleminde belirlenen bölgedir (yani yarıçapı $\sqrt{7}$ olan bir disk).
ÇÖZÜM ADIMLARI
1
ADIM 1 — Düzlemi $z = g(x,y)$ Biçiminde Yaz
Verilen düzlem denklemini $z$'ye göre çözüyoruz:
$$2x + 3y + 6z = 9 \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{9 - 2x - 3y}{6}$$
Artık yüzeyimiz $z = g(x,y)$ formunda ifade edilmiştir.
2
ADIM 2 — Kısmi Türevleri Hesapla
$z = \dfrac{9 - 2x - 3y}{6}$ ifadesinin kısmi türevleri:
$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$
$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$$
3
ADIM 3 — Köklü İfadeyi Hesapla
Formüldeki köklü ifadeyi hesaplayalım:
$$\sqrt{1 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{4}}$$
Ortak paydaya getirelim (OPK = 36):
$$= \sqrt{\frac{36}{36} + \frac{4}{36} + \frac{9}{36}} = \sqrt{\frac{49}{36}} = \frac{7}{6}$$
Bu sabit bir değer olduğundan integral dışına alınabilir.
4
ADIM 4 — $D$ Bölgesini Belirle
$D$ bölgesi, $x^2 + y^2 \leq 7$ silindirinin $xy$-düzlemindeki izdüşümüdür. Bu, merkezi orijinde ve yarıçapı $r = \sqrt{7}$ olan bir disktir:
$$D: \quad x^2 + y^2 \leq 7$$
Bu diskin alanı:
$$\iint_D dA = \pi r^2 = \pi \cdot (\sqrt{7})^2 = 7\pi$$
5
ADIM 5 — Yüzey Alanı İntegralini Hesapla
Köklü ifade sabit çıktığından integrali $D$ bölgesinin alanıyla çarparak sonucu buluruz:
$$A(S) = \iint_D \frac{7}{6}\; dA = \frac{7}{6} \iint_D dA = \frac{7}{6} \cdot 7\pi$$
✓ Sonuç
$$A(S) = \dfrac{49\pi}{6}$$
Düzlemin $x^2 + y^2 = 7$ silindiri içinde kalan kısmının yüzey alanı $\dfrac{49\pi}{6}$ birim karedir.