SORU-2
Küre Yüzey Alanı Hesaplama
Aşağıdaki küre denklemi ile verilen yüzeyin $z \leq 0$ koşulunu sağlayan kısmının yüzey alanını bulunuz.
Küre Denklemi: $\quad x^2 + y^2 + z^2 = 25$
📐 Bilinmesi Gereken Kural
Yüzey Alanı Formülü
$z = g(x,y)$ biçiminde ifade edilen bir yüzeyin $xy$-düzlemindeki $D$ bölgesi üzerindeki alanı:
$$A(S) = \iint_D \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\; dA$$
$z \leq 0$ koşulu, kürenin alt yarısını (alt yarıküreyi) belirtir. Küre $x^2+y^2+z^2=25$ için yarıçap $R = 5$'tir.
💡 Strateji
Alt yarıküreyi $z = g(x,y)$ şeklinde yazacağız. $z \leq 0$ olduğundan negatif kökü alıyoruz:
$$z = -\sqrt{25 - x^2 - y^2}$$
Projeksiyon bölgesi $D$, tüm kürenin $xy$-düzlemine yansıması olan $x^2 + y^2 \leq 25$ diskidir (yarıçap $= 5$).
ÇÖZÜM ADIMLARI
1
ADIM 1 — Alt Yarıküreyi $z = g(x,y)$ Biçiminde Yaz
$z \leq 0$ koşulu alt yarıküreye karşılık gelir. Küre denklemini $z$'ye göre çözüyoruz:
$$x^2 + y^2 + z^2 = 25 \quad\Longrightarrow\quad z = -\sqrt{25 - x^2 - y^2}$$
Projeksiyon bölgesi $D$: $\quad x^2 + y^2 \leq 25$ (yarıçapı 5 olan disk)
2
ADIM 2 — Kısmi Türevleri Hesapla
$z = -\sqrt{25 - x^2 - y^2} = -(25-x^2-y^2)^{1/2}$ ifadesinin kısmi türevleri:
$$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{1}{2}(25-x^2-y^2)^{-1/2}\cdot(-2x) = \frac{x}{\sqrt{25-x^2-y^2}}$$
$$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{1}{2}(25-x^2-y^2)^{-1/2}\cdot(-2y) = \frac{y}{\sqrt{25-x^2-y^2}}$$
3
ADIM 3 — Köklü İfadeyi Sadeleştir
Yüzey alanı formülündeki köklü ifadeyi hesaplayalım:
$$\sqrt{1 + \left(\frac{x}{\sqrt{25-x^2-y^2}}\right)^2 + \left(\frac{y}{\sqrt{25-x^2-y^2}}\right)^2}$$
$$= \sqrt{1 + \frac{x^2}{25-x^2-y^2} + \frac{y^2}{25-x^2-y^2}}$$
$$= \sqrt{\frac{(25-x^2-y^2) + x^2 + y^2}{25-x^2-y^2}} = \sqrt{\frac{25}{25-x^2-y^2}} = \frac{5}{\sqrt{25-x^2-y^2}}$$
4
ADIM 4 — Polara Geçiş Yap
İntegral şu hale geldi:
$$A(S) = \iint_D \frac{5}{\sqrt{25-x^2-y^2}}\; dA$$
$D$ bölgesi bir disk olduğundan polar koordinatlara geçmek en uygun yoldur:
$$x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta$$
$$0 \leq r \leq 5,\quad 0 \leq \theta \leq 2\pi$$
$x^2 + y^2 = r^2$ olduğundan:
$$A(S) = \int_0^{2\pi}\int_0^{5} \frac{5}{\sqrt{25-r^2}}\cdot r\;dr\,d\theta$$
5
ADIM 5 — İç İntegrali Hesapla
$\theta$ integralini ayıralım ($\theta$'ya bağlı terim yok):
$$A(S) = \int_0^{2\pi}d\theta \cdot \int_0^{5} \frac{5r}{\sqrt{25-r^2}}\;dr = 2\pi \cdot \int_0^{5} \frac{5r}{\sqrt{25-r^2}}\;dr$$
İç integral için $u = 25 - r^2$ yerine koyalım: $\;du = -2r\,dr \;\Rightarrow\; r\,dr = -\dfrac{du}{2}$
Sınırlar: $r=0 \Rightarrow u=25$; $\;\;r=5 \Rightarrow u=0$
$$\int_0^{5} \frac{5r}{\sqrt{25-r^2}}\;dr = \int_{25}^{0} \frac{5}{\sqrt{u}}\cdot\left(-\frac{du}{2}\right) = \frac{5}{2}\int_0^{25} u^{-1/2}\,du$$
$$= \frac{5}{2}\Big[2\sqrt{u}\Big]_0^{25} = \frac{5}{2}\cdot 2\cdot 5 = 25$$
✓ Sonuç
$$A(S) = 2\pi \cdot 25 = 50\pi$$
Alt yarıkürenin ($z \leq 0$) yüzey alanı $50\pi$ birim karedir.
Not: Tam kürenin yüzey alanı $4\pi R^2 = 4\pi(25) = 100\pi$, bu değerin tam yarısıdır. ✓
Not: Tam kürenin yüzey alanı $4\pi R^2 = 4\pi(25) = 100\pi$, bu değerin tam yarısıdır. ✓