BUders | Yüzey İntegrali

SORU-3 Yüzey İntegrali Hesaplama

Aşağıdaki yüzey integralini hesaplayınız: $$\iint_S z + 3y - x^2 \; dS$$ Burada Yüzey $S$: $z = 2 - 3y + x^2$ yüzeyinin, $xy$-düzleminde köşeleri $(0,0)$, $(2,0)$ ve $(2,-4)$ olan üçgenin üzerinde kalan kısmıdır.

📐 Bilinmesi Gereken Kural Skaler Yüzey İntegrali Formülü

$z = g(x,y)$ biçiminde verilen bir yüzey üzerindeki skaler yüzey integrali şu formülle hesaplanır:

$$\iint_S f(x,y,z)\; dS = \iint_D f\big(x,\,y,\,g(x,y)\big)\,\sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\; dA$$

Burada $D$, yüzeyin $xy$-düzlemindeki projeksiyon bölgesidir.

💡 Strateji

Yüzey $z = 2 - 3y + x^2$ denklemini integranda ($z + 3y - x^2$) yerine koyarsak çok güzel bir sadeleşme elde ederiz: $z + 3y - x^2 = (2 - 3y + x^2) + 3y - x^2 = 2$. İntegrand sabit 2'ye dönüşür!

ÇÖZÜM ADIMLARI

1 ADIM 1 — İntegrandı Sadeleştir

Yüzey denklemi $z = 2 - 3y + x^2$ olduğundan, integranda $z$'yi yerine koyalım:

$$z + 3y - x^2 = (2 - 3y + x^2) + 3y - x^2 = 2$$

İntegrand sabite dönüştü! İntegral şu hale gelir:

$$\iint_S z + 3y - x^2\; dS = \iint_D 2\,\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}\; dA$$

2 ADIM 2 — Kısmi Türevleri Hesapla

$z = 2 - 3y + x^2$ ifadesinin kısmi türevleri:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x \qquad\qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -3$$

Köklü ifadeyi hesaplayalım:

$$\sqrt{1 + (2x)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4x^2 + 9} = \sqrt{10 + 4x^2}$$

İntegral son halini alır:

$$\iint_D 2\sqrt{10 + 4x^2}\; dA$$

3 ADIM 3 — Projeksiyon Bölgesi $D$'yi Belirle

$D$, köşeleri $(0,0)$, $(2,0)$ ve $(2,-4)$ olan üçgendir. Kenar denklemlerini bulalım:

— $(0,0)$ ile $(2,-4)$ arasındaki kenar: $y = -2x$

— $(0,0)$ ile $(2,0)$ arasındaki kenar: $y = 0$ (x-ekseni)

— $x = 2$ dikey kenarı

$$D: \quad 0 \leq x \leq 2, \qquad -2x \leq y \leq 0$$

İntegral şu şekilde kurulur:

$$\int_0^2 \int_{-2x}^{0} 2\sqrt{10+4x^2}\; dy\; dx$$

4 ADIM 4 — İç İntegrali ($y$'ye göre) Hesapla

$\sqrt{10+4x^2}$ ifadesi $y$'ye bağlı olmadığından $y$ integralini doğrudan alalım:

$$\int_{-2x}^{0} 2\sqrt{10+4x^2}\; dy = 2\sqrt{10+4x^2}\cdot\Big[y\Big]_{-2x}^{0} = 2\sqrt{10+4x^2}\cdot(0-(-2x))$$

$$= 4x\sqrt{10+4x^2}$$

Kalan integral:

$$\int_0^2 4x\sqrt{10+4x^2}\; dx$$

5 ADIM 5 — Dış İntegrali ($x$'e göre) Hesapla

$u = 10 + 4x^2$ yerine koyalım: $\;du = 8x\,dx \;\Rightarrow\; x\,dx = \dfrac{du}{8}$

Sınırlar: $x=0 \Rightarrow u=10$; $\quad x=2 \Rightarrow u = 10 + 16 = 26$

$$\int_0^2 4x\sqrt{10+4x^2}\;dx = \int_{10}^{26} 4\sqrt{u}\cdot\frac{du}{8} = \frac{1}{2}\int_{10}^{26} u^{1/2}\,du$$

$$= \frac{1}{2}\cdot\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{10}^{26} = \frac{1}{3}\Big[u^{3/2}\Big]_{10}^{26} = \frac{1}{3}\left(26^{3/2} - 10^{3/2}\right)$$

Değerleri hesaplayalım:

$$26^{3/2} = 26\sqrt{26}, \qquad 10^{3/2} = 10\sqrt{10}$$

✓ Sonuç

$$\iint_S z + 3y - x^2\; dS = \dfrac{26\sqrt{26} - 10\sqrt{10}}{3}$$

Yaklaşık sayısal değer: $\dfrac{26\sqrt{26} - 10\sqrt{10}}{3} \approx \dfrac{132{,}58 - 31{,}62}{3} \approx 33{,}65$

Üçgen Bölge Üzerinde Yüzey İntegrali