SORU-4
Yüzey İntegrali Hesaplama
Aşağıdaki yüzey integralini hesaplayınız:
$$\iint_S xz\; dS$$
Burada Yüzey $S$: Yarıçapı 3 olan kürenin $x \leq 0$, $y \geq 0$ ve $z \geq 0$ koşullarını sağlayan kısmıdır (kürenin bir sekizde birlik parçası).
📐 Bilinmesi Gereken Kural
Skaler Yüzey İntegrali Formülü
$z = g(x,y)$ biçiminde verilen bir yüzey üzerindeki skaler yüzey integrali:
$$\iint_S f(x,y,z)\; dS = \iint_D f\!\left(x,y,g(x,y)\right)\sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\; dA$$
Burada $D$, yüzeyin $xy$-düzlemindeki projeksiyon bölgesidir.
💡 Strateji
$z \geq 0$ koşulu üst yarıküreyi belirtir: $z = \sqrt{9-x^2-y^2}$. Köklü ifadeyi yerine koyunca $xz \cdot dS$ içindeki $z$ ve köklü ifade birbirini sadeleştirir, integrand $3x\,dA$'ya dönüşür. Projeksiyon bölgesi $D$ ise $x \leq 0$, $y \geq 0$ koşullarıyla $xy$-düzleminin 2. çeyreğindeki çeyrek disktir. Polar koordinata geçiş çözümü tamamlar.
ÇÖZÜM ADIMLARI
1
ADIM 1 — Yüzeyi $z = g(x,y)$ Biçiminde Yaz ve Kısmi Türevleri Hesapla
$z \geq 0$ koşulu gereği üst yarıküreyi alıyoruz:
$$x^2 + y^2 + z^2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad z = \sqrt{9 - x^2 - y^2}$$
Kısmi türevler (önceki soruda aynı yapı görülmüştü):
$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-x}{\sqrt{9-x^2-y^2}}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-y}{\sqrt{9-x^2-y^2}}$$
Köklü ifade:
$$\sqrt{1 + \frac{x^2}{9-x^2-y^2} + \frac{y^2}{9-x^2-y^2}} = \sqrt{\frac{9}{9-x^2-y^2}} = \frac{3}{\sqrt{9-x^2-y^2}}$$
2
ADIM 2 — İntegrandı Sadeleştir
$f(x,y,z) = xz$ ifadesinde $z = \sqrt{9-x^2-y^2}$ yerine koyalım ve $dS$ ile çarpalım:
$$xz \cdot dS = x \cdot \sqrt{9-x^2-y^2} \cdot \frac{3}{\sqrt{9-x^2-y^2}}\; dA$$
$$= x \cdot \cancel{\sqrt{9-x^2-y^2}} \cdot \frac{3}{\cancel{\sqrt{9-x^2-y^2}}}\; dA = 3x\; dA$$
Mükemmel bir sadeleşme! İntegral şu hale gelir:
$$\iint_S xz\; dS = \iint_D 3x\; dA$$
3
ADIM 3 — Projeksiyon Bölgesi $D$'yi Belirle
$x \leq 0$, $y \geq 0$, $z \geq 0$ koşulları ile kürenin projeksiyon bölgesi $D$; $xy$-düzleminde 2. çeyrekte yer alan çeyrek disktir:
$$D: \quad x^2 + y^2 \leq 9, \quad x \leq 0, \quad y \geq 0$$
Bu bölge, merkezi orijinde yarıçapı 3 olan diskin 2. çeyreğe denk gelen kısmıdır ($\theta \in [\pi/2,\, \pi]$).
4
ADIM 4 — Polar Koordinata Geç
$D$ bir çeyrek disk olduğundan polar koordinatlar idealdir:
$$x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta$$
$$0 \leq r \leq 3, \qquad \frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \pi$$
İntegral ayrışır ($r$ ve $\theta$ bağımsız):
$$\iint_D 3x\;dA = 3\int_{\pi/2}^{\pi}\int_0^3 r\cos\theta \cdot r\;dr\,d\theta = 3\int_{\pi/2}^{\pi}\cos\theta\;d\theta \cdot \int_0^3 r^2\;dr$$
5
ADIM 5 — İntegralleri Hesapla
$\theta$ integrali:
$$\int_{\pi/2}^{\pi}\cos\theta\;d\theta = \Big[\sin\theta\Big]_{\pi/2}^{\pi} = \sin\pi - \sin\frac{\pi}{2} = 0 - 1 = -1$$
$r$ integrali:
$$\int_0^3 r^2\;dr = \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{3} = 9$$
Sonucu birleştirelim:
$$3 \cdot (-1) \cdot 9 = -27$$
✓ Sonuç
$$\iint_S xz\; dS = -27$$
Sonucun negatif çıkması mantıklıdır: $x \leq 0$ bölgesinde $x$ değerleri negatif olduğundan $xz$ integrali negatif bir değer verir. ✓