BUders | Yüzey İntegrali — Paraboloid Çözüm

SORU-5 Yüzey İntegrali Hesaplama

Aşağıdaki yüzey integralini hesaplayınız: $$\iint_S 40y\; dS$$ Burada Yüzey $S$: $y = 3x^2 + 3z^2$ dönel paraboloidinin $y = 6$ düzlemi ile sınırlanan kısmıdır. Başka bir deyişle, $S$ yüzeyi $3x^2 + 3z^2 \leq y \leq 6$ koşulunun sağlandığı bölgenin paraboloidal kapağıdır.

📐 Bilinmesi Gereken Kural $y = g(x,z)$ Biçimindeki Yüzey için Skaler İntegral

Yüzey $y = g(x,z)$ biçiminde ifade edildiğinde, $xz$-düzlemine projeksiyonu $D$ olan bölge üzerinde:

$$\iint_S f(x,y,z)\; dS = \iint_D f\!\left(x,\,g(x,z),\,z\right)\sqrt{1 + \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)^2}\; dA$$

Burada $D$, yüzeyin $xz$-düzlemindeki projeksiyon bölgesidir.

💡 Strateji

Paraboloid $y = 3x^2 + 3z^2$ ifadesi $y = g(x,z)$ biçiminde verilmiştir. $y = 6$ ile sınırlanan bölgede $3x^2 + 3z^2 \leq 6$, yani $x^2 + z^2 \leq 2$ olup $xz$-düzleminde yarıçapı $\sqrt{2}$ olan bir diske projekte olur. Kısmi türevler hesaplanıp $dS$ ifadesi elde edilince, polar koordinata geçilerek integrasyon tamamlanır. $r$ integrali için değişken dönüşümü ($u = 1 + 36r^2$) uygulanır.

ÇÖZÜM ADIMLARI

1 ADIM 1 — Kısmi Türevleri Hesapla ve $dS$ İfadesini Bul

$y = g(x,z) = 3x^2 + 3z^2$ yüzeyi için kısmi türevler:

$$\frac{\partial y}{\partial x} = 6x, \qquad \frac{\partial y}{\partial z} = 6z$$

$dS$ ifadesi:

$$dS = \sqrt{1 + (6x)^2 + (6z)^2}\; dA = \sqrt{1 + 36x^2 + 36z^2}\; dA$$

2 ADIM 2 — Projeksiyon Bölgesi $D$'yi Belirle

$y = 6$ koşulu ile $y = 3x^2 + 3z^2$'yi eşitlersek:

$$3x^2 + 3z^2 = 6 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + z^2 = 2$$

Dolayısıyla $xz$-düzlemindeki projeksiyon bölgesi $D$, merkezi orijinde yarıçapı $\sqrt{2}$ olan bir diskdir:

$$D: \quad x^2 + z^2 \leq 2$$

3 ADIM 3 — İntegrali Kur ve Polar Koordinata Geç

$f(x,y,z) = 40y$ ifadesinde $y = 3x^2 + 3z^2$ yerine koyarak integralimizi yazalım:

$$\iint_S 40y\;dS = \iint_D 40(3x^2+3z^2)\sqrt{1+36x^2+36z^2}\;dA$$

Polar koordinatlar: $x = r\cos\theta$, $z = r\sin\theta$, $dA = r\,dr\,d\theta$

$$0 \leq r \leq \sqrt{2}, \qquad 0 \leq \theta \leq 2\pi$$

$x^2 + z^2 = r^2$ olduğundan $40(3x^2+3z^2) = 120r^2$ ve $\sqrt{1+36r^2}$:

$$= \int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{2}} 120r^2 \cdot \sqrt{1+36r^2} \cdot r\;dr\,d\theta = 120\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\sqrt{2}} r^3\sqrt{1+36r^2}\;dr$$

$\theta$ integrali $2\pi$ verir:

$$= 240\pi \int_0^{\sqrt{2}} r^3\sqrt{1+36r^2}\;dr$$

4 ADIM 4 — $r$ İntegrali için Değişken Dönüşümü

$u = 1 + 36r^2$ koyalım:

$$u = 1+36r^2 \quad\Rightarrow\quad r^2 = \frac{u-1}{36}, \quad du = 72r\,dr \quad\Rightarrow\quad r\,dr = \frac{du}{72}$$

Sınırlar: $r=0 \Rightarrow u=1$, $\quad r=\sqrt{2} \Rightarrow u = 1+36\cdot 2 = 73$

$r^3\,dr = r^2 \cdot r\,dr = \dfrac{u-1}{36}\cdot\dfrac{du}{72}$ olup integral:

$$\int_0^{\sqrt{2}} r^3\sqrt{1+36r^2}\;dr = \int_1^{73} \sqrt{u}\cdot\frac{u-1}{36}\cdot\frac{du}{72} = \frac{1}{2592}\int_1^{73}(u^{3/2}-u^{1/2})\;du$$

5 ADIM 5 — $u$ İntegralini Hesapla

Kuvvet kuralı ile:

$$\int_1^{73}(u^{3/2}-u^{1/2})\;du = \left[\frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{2}{3}u^{3/2}\right]_1^{73}$$

$u = 73$ için: $\quad 73^{1/2} = \sqrt{73}$ kısaltmayla devam edelim.

$$= \left(\frac{2}{5}\cdot73^{5/2} - \frac{2}{3}\cdot73^{3/2}\right) - \left(\frac{2}{5} - \frac{2}{3}\right)$$

$$= \frac{2}{5}\cdot73^{5/2} - \frac{2}{3}\cdot73^{3/2} + \frac{4}{15}$$

Ortak paydaya alınırsa ($\text{ort. payda}=15$):

$$= \frac{6\cdot73^{5/2} - 10\cdot73^{3/2} + 4}{15} = \frac{2(3\cdot73^{5/2}-5\cdot73^{3/2}+2)}{15}$$

6 ADIM 6 — Sonucu Birleştir

Her şeyi bir araya getirelim:

$$\iint_S 40y\;dS = 240\pi \cdot \frac{1}{2592} \cdot \frac{2(3\cdot73^{5/2}-5\cdot73^{3/2}+2)}{15}$$

$240 \cdot 2 = 480$ ve $2592 \cdot 15 = 38880$ olduğundan:

$$= \frac{480\pi}{38880}\left(3\cdot73^{5/2}-5\cdot73^{3/2}+2\right) = \frac{\pi}{81}\left(3\cdot73^{5/2}-5\cdot73^{3/2}+2\right)$$

Sayısal değerlendirme: $\sqrt{73}\approx8.544$, $73^{3/2}\approx623.7$, $73^{5/2}\approx45\,531$

$$3\cdot73^{5/2}-5\cdot73^{3/2}+2 \approx 3(45531)-5(623.7)+2 \approx 136593-3118.5+2 \approx 133\,476$$

$$\iint_S 40y\;dS \approx \frac{\pi \cdot 133476}{81} \approx 1648.8\pi \approx 5178$$

✓ Sonuç

$$\iint_S 40y\;dS = \frac{\pi}{81}\!\left(3\cdot73^{5/2}-5\cdot73^{3/2}+2\right) \approx 5178$$

Sonucun pozitif çıkması beklenen bir durumdur: $y = 3x^2+3z^2 \geq 0$ olduğundan yüzey üzerinde $40y \geq 0$, dolayısıyla integralin pozitif olması zorunludur. ✓

Dönel Paraboloid Üzerinde Yüzey İntegrali