BUders | Yüzey İntegrali — Silindir Çözüm

SORU-6 Yüzey İntegrali Hesaplama

Aşağıdaki yüzey integralini hesaplayınız: $$\iint_S 2y\; dS$$ Burada Yüzey $S$: $y^2 + z^2 = 4$ denklemi ile verilen dairesel silindirin $x = 0$ düzlemi ile $x = 3 - z$ düzlemi arasında kalan yan yüzeyidir.

📐 Bilinmesi Gereken Kural Silindirik Yüzey Üzerinde Skaler İntegral

$y^2 + z^2 = R^2$ silindiri, $y = R\cos\theta$, $z = R\sin\theta$ şeklinde parametrize edilir. Yan yüzey için yüzey eleman vektörü:

$$dS = R\;d\theta\;dx$$

Burada $R$ silindirin yarıçapıdır. $x$ sınırları $\theta$'ya bağlı olabilir; bu durumda önce $x$ integralini, sonra $\theta$ integralini hesaplarız.

💡 Strateji

Silindir $y^2+z^2=4$'ü $y=2\cos\theta$, $z=2\sin\theta$ olarak parametrize edelim (yarıçap $R=2$). $x$ değişkeni $0$ ile $3-z = 3-2\sin\theta$ arasında değişir; bu sınırın negatif olmadığını $\theta$'ya göre kontrol etmemiz gerekmez; $x$ integralini doğrudan alırız. Sonuçta $\theta$ integrali $\cos\theta$ ve $\cos\theta\sin\theta$ terimleri içerir; her ikisi de tam periyot $[0,2\pi]$ üzerinde sıfır verir.

ÇÖZÜM ADIMLARI

1 ADIM 1 — Silindiri Parametrize Et ve $dS$'yi Yaz

$y^2 + z^2 = 4$ silindirinin yarıçapı $R = 2$'dir. Parametrizasyon:

$$y = 2\cos\theta, \quad z = 2\sin\theta, \quad x = x$$ $$\theta \in [0, 2\pi], \quad x \in [0,\; 3 - 2\sin\theta]$$

Silindirik yüzey elemanı:

$$dS = R\;d\theta\;dx = 2\;d\theta\;dx$$

$x$ üst sınırı: $x = 3 - z = 3 - 2\sin\theta$ (düzlem denklemi $x = 3-z$'den).

2 ADIM 2 — İntegrali Kur

$f(x,y,z) = 2y = 2(2\cos\theta) = 4\cos\theta$ yazarak:

$$\iint_S 2y\;dS = \int_0^{2\pi}\int_0^{3-2\sin\theta} 4\cos\theta \cdot 2\;dx\;d\theta$$

$$= \int_0^{2\pi} 8\cos\theta \int_0^{3-2\sin\theta} dx\;d\theta$$

3 ADIM 3 — İç $x$ İntegralini Hesapla

$x$ integrali doğrudan hesaplanır:

$$\int_0^{3-2\sin\theta} dx = 3 - 2\sin\theta$$

İntegral şu hale gelir:

$$\int_0^{2\pi} 8\cos\theta\,(3 - 2\sin\theta)\;d\theta = \int_0^{2\pi}\!\left(24\cos\theta - 16\cos\theta\sin\theta\right)d\theta$$

4 ADIM 4 — Dış $\theta$ İntegralini Hesapla

İki terimi ayrı ayrı hesaplayalım:

Birinci terim:

$$\int_0^{2\pi} 24\cos\theta\;d\theta = 24\Big[\sin\theta\Big]_0^{2\pi} = 24(0 - 0) = 0$$

İkinci terim ($\cos\theta\sin\theta = \tfrac{1}{2}\sin 2\theta$ özdeşliği ile):

$$\int_0^{2\pi} 16\cos\theta\sin\theta\;d\theta = \int_0^{2\pi} 8\sin 2\theta\;d\theta = 8\left[-\frac{\cos 2\theta}{2}\right]_0^{2\pi} = -4\Big[\cos 2\theta\Big]_0^{2\pi} = 0$$

Her iki terim de tam periyot üzerinde integrali sıfır olan fonksiyonlardır.

5 ADIM 5 — Sonucu Birleştir

İki terimi toplayalım:

$$\iint_S 2y\;dS = 0 - 0 = 0$$

Neden sıfır? Sezgisel bir yorum: $y = 2\cos\theta$ fonksiyonu silindir üzerinde simetrik biçimde pozitif ve negatif değer alır. Yüzey $x$ yönünde eğimli ($x = 3-z$) olsa da bu eğim sadece $z$'ye ($\sin\theta$'ya) bağlıdır; $y$ ($\cos\theta$) ile $z$ ($\sin\theta$) birbirine dik olduğundan $\theta$ integrali tam periyotta sıfır verir.

✓ Sonuç

$$\iint_S 2y\; dS = 0$$

Sonucun sıfır çıkması simetri argümanıyla doğrulanabilir: $y = 2\cos\theta$ fonksiyonu $[0,2\pi]$ üzerinde simetrik olduğundan, $z$'ye bağlı olan sınır koşulundan gelen terimler de sıfır verir. ✓

Dairesel Silindir Yan Yüzeyi Üzerinde Yüzey İntegrali